数学建模
4.3 建立高压锅logistic模型
由于高压锅在进入市场初期没有太多人家了解或清楚高压锅，致使人们对高压锅的购买数量不大，所以此时高压锅销售数量的增长率小；随着时间的推移，人们开始认识到使用高压锅的好处，高压锅的销售量增长率也逐渐提高；之后越来越多的人家都有高压锅了，而高压锅的经久耐用决定了高压锅销售量的增长率会逐渐减少；到最后该地区基本上所有人家都有高压锅了，高压锅的销售数量将趋于一个定值，即L，此时销售数量的增长率将趋于0.
所以，综上所述，高压锅的销售情况满足Logistic模型。
设高压锅的销售数量的增长率为 r（t），高压锅的销售量的上限为L ， 销售量为 y（t）
y(t)). （4-1）则有 ： r(t)?r(1?Ldyy(t)?r(t)y?r(1?)y. （4-2） dtL建立模型
y?dy?r(1?)y,r?0?. (4-3) L?dt??y(t0)?y0模型分析
y2y?ry，与ry相比可以忽略不计，Logistic模型可以 当L与y(t)相比很大时，rLLy2转化为指数模型；而当L与y相比不是很大时，r就不能忽略，其作用是使高压锅的销
L售量的增长速度减缓下来。 作图结果，如图4-3
图4-3
对线性化Logistic增长模型并做非线性回归
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高压锅的销售量
线性化Logistic增长曲线模型 Logistic增长曲线模型为
yt?L1?ae?kt. (3-1)
LL?1?ae?kt?1?ae?kt两边同时取倒数得 y，整理得y. (3-2)
Lln(?1)?ln(ae?kt)?lna?lne?kt?lna?kt两边同时取对数得 y. (3-3) Ly1?ln(?1)y令，aa??k，bb?lna.
即可得到一个线性关系式：. (3-4)
所以Logistic增长曲线模型能线性化。
用Matlab对Logistic模型做非线性回归 Matlab程序如下： y=[43.65 109.86 187.21 312.67 496.58 707.65 960.25 1238.75 1560.00 1824.29 2199.00 2438.89 2737.71]; t=0:12; L=3000;
y1=log(L./y-1); p=polyfit(t,y1,1); k=-p(1);
a=exp(p(2));
yy=L./(1+a*exp(-k*t)); plot(t,y,'*',t,yy);
拟合Logistic模型，画出拟合图形，如图4-4
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yy?aat?bb数学建模
如图4-4
5 拟合Gompertz模型
线性化Gompertz模型
?ktGompertz增长曲线模型为yt?Le?be. (5-1)
y?kt得L?e?be两边同时除以 L . (5-2)
y两边同时取对数得
ln??be?ktL. (5-3) 再两边同时取对数得
lnlnyL?ln(?b)?kt. (5-4)
y令
y2?lnlnL，aa??k，bb?ln(?b).
得线性关系式y2?aat?bb. (5-5) 拟合Gompertz模型
用Matlab拟合Gompertz模型
画出Gompertz模型并与原数据比较，如图5-1
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高压锅的销售量
如图5-1
6 综合评价与结论
两模型相同之处
Logistic增长曲线模型，俗称“S曲线”，由Verhulst于1845年提出，当时主要目的是模拟人口的增长。其一般形式为
yt?K1?ae?bt. (5-1)
也称狭义的逻辑增长曲线模型。
增长曲线有两个重要特征。一是y随着t的增加直至+∞而趋向于K，K即是Y的饱和值；反过来，当t→-∞时，y→0。二是增长曲线具有一个拐点，在拐点之前，y的增长速度越来越快；在拐点之后，y的增长速度越来越慢，逐渐趋近于0。在现实经济生活中，许多指标的增长过程具有这两个特征。例如，一种新产品、新技术的普及率，一种耐用品的存量，它们的增长过程都遵循逻辑增长曲线模型。所以，逻辑增长曲线模型在经济预测中有广泛的应用，是一种重要的预测模型。
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