测量学复习总结
fh允= ?40L(mm)在山丘地区，当每公里路线中安置水准仪的测站数超过１６站时，允许高差闭合差
fh允= ?12n(mm)2）高差闭合差的分配和高程计算：
原则：当高差闭合差小于允许闭合差时，说明观测成果合格，可进行高差闭合差的分配、高差改正和高程计算，对于闭合水准路线和符合水准路线采用按距离L或测站数n成正比的原则，将高差闭合差反号进行分配；对于支水准路线，则取往、反高差绝对值的平均值，高差符号以往为准；
三、计算题：
（注意：计算题仅是考试范围内的例题而已，切勿当成真正考试试题！）
1．支导线计算坐标：
例 ① 已知A、B两点的坐标为 XA=1011.358m, YA=1185.395m；点B的坐标为XB=883.122m, YB=1284.855m。在AB线段的延长线上定出一点C，BC间的距离DBC=50.000m，计算C点的坐标。
解：△XAB = XB – XA = -128.236m, △YAB = YB– YA =99.46m 可以计算出AB边的方位角αAB为：142 °12′10″ （可通过不同方法计算，如先计算象限角，再计算方位角）
C在AB延长线上，故αAB = αBC = 142 °12′10″
△XBC = DBC * cosαBC = -39.509; △YBC = DBC * sinαBC = 30.643
C点的坐标为：X = 843.613; Y = 1315.498
例 ② 如右图所示，已知AB边的方位角为130°20′，BC边的长度为82m，∠ABC = 120°10′，XB=460m, YB=320m，计算分别计算BC边的方位角和C点的坐标。
解：BC边的方位角为αBC = 130°20′+180° + 120°10′= 70°30′ XC = XB + DBC * cosαBC = 487.4m
YC = YB + DBC * sinαBC = 397.3m
A C
2．尺长方程式（实际长度）：
B
例 ① 使用一30m的钢尺，用标准100N的拉力。沿倾斜地面往返测量AB边的距离，用水准仪测得两端点的高差h=2.54m，往侧的平均温度为27.4℃，返测时为27.9℃，钢尺的尺长方程式为l=30m-1.8mm+0.36(t-20℃)mm （计算过程和方法详见书96-97页）
3．算术平均值或者中误差（已知式子求??）：
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例 ① 在相同的观测条件下，对某段距离测量了五次，各次长度分别为：121.314m, 121.330m, 121.320m, 121.327m, 121.335m。试求：（1）该距离算术平均值；（2）距离观测值的中误差；（3）算术平均值的中误差；（4）距离的相对误差。 解：（1）算术平均值 L = 121.325m
（2）观测值的中误差 m = ±[ [vv]/(n-1) ]1/2 = ± 0.0083m （3）算术平均值的中误差 mL= ±[ [vv]/n*(n-1) ] 1/2= ±0.0037m （4）距离的相对误差为：mL /L = 1：32685
例 ② 今用钢尺丈量得两段距离：S1 = 60.25 ± 6 cm, S2 =80.30 ± 7 cm，S3 =102.50 ± 8 cm，距离S4 = (S1 + S2 + S3 )/3，分别计算 S4的距离值、中误差和相对误差。
解：S4 = 81.017m m42 = (m12 + m22 + m32) / 9 = 16.56
m4 = ±4.07cm
相对误差为：0.0407 / 81.017 = 1/1993
例 ③对某角度进行了6个测回，测量角值分别为42°20′26″、42°20′30″、42°20′28″、42°20′24″、42°20′23″、42°20′25″，试计算：（1）该角的算术平均值；（2）观测值的中误差；（3）算术平均值的中误差。
解：（1）算术平均值为：42°20′26″（2分） （2）观测值的中误差为：±2.6″（6分）
（3）算术平均值的中误差为：±1.16″（10分）
例 ④下今用钢尺丈量得两段距离：S1 = 120.63 ± 6.1cm, S2 =114.49 ± 7.3cm，试求距离S3 = S1 + S2 和S4 = S1 - S2 的中误差和它们的相对中误差。
解：S3 = S1 + S2 = 235.12m (1分)
m3 = (m1* m1 + m2* m2 ) 1/2 = 9.5 cm（3分） ρ3 = m3 / S3 = 1/2475（5分） S4 = S1 - S2 = 6.14m（6分）
m4 = (m1* m1 + m2* m2 ) 1/2 = 9.5 cm（8分） ρ4 = m4 / S4 = 1/65（10分）
例⑤ 用钢尺丈量某一段距离，6次测量的距离值分别为（单位m）：20.290, 20.295, 20.298, 20.291, 20.289, 20.296，试计算：（1）距离最或是值；（2）距离观测值中误差；（3）最或是值的中误差；（4）相对误差。
解：
（1） 算术平均值 L = 20.293m
1/2
（2） 观测值的中误差 m = ±[ [vv]/(n-1) ] = ± 0.0037m
1/2
（3） 算术平均值的中误差 mL= ±[ [vv]/n*(n-1) ] = ±0.0015m 距离的相对中误差为：mL /L = 1：13434
4．闭合水准路线（计算高程）：
例 ① 根据下图所示水准路线中的数据，计算P、Q点的高程。
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BM-3.0011.4kP -4.740HBM1 = 163.751m HBM2 = 157.732m BM1.7193.5kQ 6.3k 解：（1）计算高差闭合差： △h = HBM2 - HBM1 = 157.732 – 163.751 = -6.019 m
∑h = -3.001 – 4.740 + 1.719 = = - 6.022m
fh = ∑h - △h = -6.022 – (-6.019) = -0.003m = -3mm
（2）分配闭合差，计算改正数
∑L = 1.4 + 6.3 + 3.5 = 11.2 km v1 = - (L1/∑L) * fh = 0mm v2 = - (L2/∑L) * fh = 2mm
v3 =- (L3/∑L) * fh =1mm （3）计算改正后的高差的高程
HP = HBM1 + h1 + v1 = 163.751 – 3.001 + 0 = 160.750m
HQ = HP + h2 + v2 = 160.750 – 4.740 + (0.002) = 160.750 – 4.738 = 156.012m 或HQ = HBM2+ (h3 + v3) = 157.732 – 1.719 –0.001 = 160.750 – 4.738 = 156.012m
例 ② 闭合水准路线高差观测如图，已知A点高程HA = 41.20m，观测数据如图所示（环内单位为m的为两点高差，环外单位为km为两点距离），计算B、C、D、E点的高程。（此题图不知哪里去了！）
解：（1）计算高差闭合差：fh = ∑h = -0.024m = -24 mm （2）分配闭合差，计算改正数 ∑L = 12km
v1 = - (L1/∑L) * fh = 2mm v2 = - (L2/∑L) * fh = 6mm v3 =- (L3/∑L) * fh = 4 mm v4 =- (L4/∑L) * fh = 7mm
v5 =- (L5/∑L) * fh = 5mm （3）计算改正后的高差的高程 HB = HA+ h1 + v1 = 39.784m HC = HB + h2 + v2 = 37.338m
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HD = HC + h3 + v3 = 39.399m HE= HD + h4 + v4 = 40.184m
例 ③根据下图所示水准路线中的数据，计算P、Q、R点的高程。
M N
+1.326
2.1k-3.517
3.4k
+3.718+2.674
P R
HM = 26.201m
2 4 Q HN = 30.425m
解：（1）计算高差闭合差：fh = ∑h - △h = -0.023m = -23 mm
（2）分配闭合差，计算改正数 ∑L = 11.5km
v1 = - (L1/∑L) * fh = 4.2mm v2 = - (L2/∑L) * fh = 8mm v3 =- (L3/∑L) * fh = 4 mm
v4 =- (L4/∑L) * fh = 6.8mm （3）计算改正后的高差的高程 HP = HM+ h1 + v1 = 27.531m HQ = HP + h2 + v2 = 30.213m
HR = HQ + h3 + v3 = 33.935m
李翔 于成都信息工程学院
2010年11月27日
