大连理工大学
2005年攻读硕士研究生入学考试试题
考试科目: 高等代数(404) http://www.bossh.net
博士家园fenggaol顾问解答
一、填空题(每小题4分)
1. 设f(x)是有理数域上的不可约多项式,?为f(x)在复数域内的一个根,则?的重数为_________.
2. n阶行列式
21?1113?11?__________.
?????11?1n?13. 设?、?均为n维列向量:?'??2,则A?E???'可逆,A?__________. 4. 设向量组?1,?2,?,?r线性无关,
?1??1??2??3????r??????????213r???????????? ??????????12r?1?r???r?1??1??2????r则?1,?2,?,?r,?r?1线性__________.
5. 设A是n阶矩阵,秩A?r,非齐次线性方程组Ax??有解,则Ax??的解向量组的秩为__________.
6. 设a、b均为实数,二次型
f(x1,x2,?,xn)?(ax1?bx2)2?(ax2?bx3)2???(axn?1?bxn)2?(axn?bx1)2
a、b满足条件_________时,f为正定二次型.
7. 设V是由矩阵A的全体实系数多项式组成的线性空间,其中
?100??1?3i??A??0?0?, 其中??,
2?00?2???则V的一组基是___________.
8. 设V是数域P上的一维线性空间,写出V上的所有线性变换____________. 9. 正交矩阵的实特征值为___________.
10. 设G为群,H、N分别是G的子群, H、N的阶分别是m、n,且m、n互素,令??H?N,则元素?的阶为__________.
二、(10分) 设f(x),g(x)是数域P上的多项式,证明:在数域P上,若f3(x)|g3(x),则f(x)|g(x).
三、(15分) 设A为n级矩阵,且秩A?秩A,证明:对任意自然数k,有秩A=秩A. 四、(15分) 证明:一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是,它的秩等于2和符号差等于0,或者秩等于1.
五、(15分) 设?1,?,?n是数域P上的n维线性空间V的一组基,W是V的非平凡子空间, ?1,?,?r是W的一组基,证明:在?1,?,?n中可以找到n?r个向量?i1,?,?in?r,使
2k?1,?,?r,?i,?,?i为V的一组基.
1n?r六、(10分)设3阶矩阵A满足A?3A?2E?0,写出A的若当(Jordan)标准型的所有可能形式.
七、(10分)设V是一个n维欧氏空间,?1,?,?n是V的一个标准正交基, A是V的一个线性变换,A?(aij)n?n是A关于这个基的矩阵,证明: aji?(A(?i),?j),
2i,j?1,2,?,n.(其中( , )表示内积)
八、(25分) 设A是数域P上的n维线性空间V的一个线性变换,f(x)是A的最小多项式,在P[x]中,f(x)?f1(x)f2(x),f1(x)、f2(x)均为首项系数为1的多项式,且f1(x)与
f2(x)互素,令
V1?{??V|f1(A)(?)?0}, V2?{??V|f2(A)(?)?0}.
证明:
(1) (5分) V1和V2都是A的不变子空间； (2) (10分)V?V1?V2；
(3) (10分) A|V1的最小多项式是f1(x), A|V2的最小多项式是f2(x).
九、(10分) 设R是有1的交换环,P是R的素理想,I1,I2,?,In是R的极大理想,如果P包含I1,I2,?,In的交集,证明P必为极大理想.
