§ 数学归纳法与贝努利不等式
数学归纳法
．了解数学归纳法的原理及其使用范围，掌握数学归纳法证明的步骤．(重点) ．能够利用数学归纳法证明一些简单问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理 数学归纳法
阅读教材～“思考交流”以上部分，完成下列问题． ．数学归纳法的原理
数学归纳法原理是：设有一个关于正整数的命题，若当取第个值时该命题成立，又在假设当取第个值时该命题成立后可以推出取第＋个值时该命题成立，则该命题对一切自然数≥都成立．
．数学归纳法证明的步骤
()验证当取第一个值(如＝或等)时命题正确．
()假设当＝时(∈＋，≥)命题正确，证明当＝＋时命题也正确．
在完成了上述两个步骤之后，就可以断定命题对于从开始的所有正整数都正确．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
()用数学归纳法证明命题“多边形的内角和是(－)×°”时，验证的第一个值是.( ) ()用数学归纳法证明只与自然数有关的命题时，第二步中在假设＝(≥)成立时，总是证明＝＋时也成立．( )
()使用数学归纳法时，可以不使用归纳假设．( ) 【解析】()√ 因为边数最少的多边形是三角形．
()× 在证只与正整数有关的命题时，在假设＝成立的前提下，证明＝＋时也成立．
()× 用数学归纳法证题中必须使用归纳假设． 【答案】()√ ()× ()×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问： 解惑： 疑问： 解惑： 疑问： 解惑：
[小组合作型]
数学归纳法的概念 用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＋＝(≠，∈＋)，在验证＝成立时， 左边计算的结
果是( )
． ．＋＋
．＋ ．＋＋＋
【精彩点拨】 只需把＝代入，观察式子左边规律即得答案． 【自主解答】 实际是由(即)起，每项指数增加，到最后一项为＋， 因此＝时，左边的最后一项应为，因此左边计算的结果应为＋＋. 【答案】
验证取第一个值时命题正确是运用数学归纳法的基础，一定要正确找出＝时的命题.
[再练一题]
．若()＝－＋－＋…＋－，则(＋)＝()＋.
【解析】 (＋)＝－＋－＋…＋－＋－， ∴(＋)＝()＋－. 【答案】－
用数学归纳法证明等式 用数学归纳法证明： －＋－＋…＋－＝＋＋…＋(∈＋)．
【精彩点拨】 要证的等式左边共项，右边共项，()与(＋)相比左边增二项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同．因此，由“＝”到“＝＋”时要注意项的合并．
【自主解答】①当＝时，左边＝－＝＝＝右边，所以等式成立． ②假设＝时等式成立，即
－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当＝＋时， 左边＝－＋－＋…＋－＋－ ＝＋－ ＝＋
＝＋…＋＋＋＝右边， 所以，＝＋时等式成立．
由①②知，对任意∈＋，等式成立．
用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与的取值是否有关.由＝到＝＋时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项.
[再练一题]
．用数学归纳法证明： ＋＋＋…＋＝(其中∈＋)．
【证明】 ()当＝时，等式左边＝＝， 等式右边＝＝，所以等式成立． ()假设＝(≥，∈＋)时等式成立， 即＋＋…＋＝成立 . 则＝＋时， ＋＋＋…＋＋ ＝＋ ＝＝ ＝，
即＝＋时等式成立．
由()，()可知，对任意∈＋等式均成立．
[探究共研型]
数学归纳法证明猜想 探究 数学归纳法有两个步骤，那么它的两个步骤的作用分别是什么？
【提示】在数学归纳法中的第一步“验证＝时命题成立”，是归纳的奠基、是推理证明的基础，第二步是归纳递推，保证了推理的连续性，证明了这一步，就可以断定这个命题对于取第一个值后面的所有正整数也都成立．
探究 如何理解归纳假设在证明中的作用？
【提示】归纳假设在证明中起一个桥梁的作用，联结第一个值和后续的值所对应的情形．在归纳递推的证明中，必须以归纳假设为基础进行证明．否则，就不是数学归纳法．
探究 若数列{}中，＝，＝－＋.那么，，分别是多少？你能猜想出吗？能否通过数学归纳法证明．
【提示】由题意可以求出＝，＝，＝，＝，可以猜想＝－，然后可以用数学归纳法证明．
设()>(∈＋)，对任意正整数和总有(＋)＝()·()，又()＝.
