《函数极限的求法和技巧》论文
摘要: 本文就关于求函数极限的方法和技巧作了一个比较全面的概括、综合。在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。
关键词：函数极限
正文
一、求函数极限的方法
1、运用极限的定义
limf(x)?b????0,?A?0,?x:x?A,有f(x)?b??
x??x???limf(x)?b????0,?A?0,?x??A,有f(x)?b??
x???limf(x)?b????0,?A?0,?x?A,有f(x)?b??
limf(x)?b????0,???0,?x:0?x?a??,有f(x)?b??
x?ax??alimf(x)?b????0,???0,?x:a?x?a??,有f(x)?b??
x??alimf(x)?b????0,???0,?x:a???x?a,有f(x)?b??
例1： 用极限定义证明
x?1?1 limx?1x???证明：不妨设想x>-1,? ?>0 ,要使不等式
x?12?1??? x?1x?12成立.解得x>
?2?1(限定0< ?<2)取A=
2??1.于是，
???0,?A?
??1,?x?A,有
x?1?1< ?,即 x?11
x?1?1 limx?1x???例2: 用极限定义证明:
x2?3x?2lim?1 x?2x?2x2?3x?2x2?4x?4证: 由 ?1?x?2x?2????0
?x?2?2x?2?x?2
取??? 则当0?x?2?? 时,就有
x2?3x?2 ?1??
x?2
由函数极限???定义有:
x2?3x?2lim?1 x?2x?22、利用极限的四则运算性质
若 limf(x)?A limg(x)?B
x?x0x?x0(I)lim?f(x)?g(x)?? limf(x)?limg(x)?A?B
x?x0x?x0x?x0(II)lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)?A?B
x?x0x?x0x?x0(III)若 B≠0 则：
limf(x)f(x)x?x0A lim??
x?x0g(x)limg(x)Bx?x0（IV）limc?f(x)?c?limf(x)?cA （c为常数）
x?x0x?x0 2
上述性质对于x??,x???,x???时也同样成立
x2?3x?5例1：求 lim
x?2x?4x2?3x?522?3?2?55? 解: lim=
x?2x?42?422n2?3n?2 例2：求lim
x??n2?13232?2lim(2??2)2n?3n?2nn?x??nn 解：lim?lim2x??x??11n?11?2lim(1?2)x??nn32lim2?lim?lim22x??x??nx??n???2
11lim1?lim2x??x??n22?
3、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量
的性质）
设函数f(x)、g(x) 满足： （I）limf(x)?0
x?x0(II) g(x)?M (M为正整数) 则：limg(x)f(x)?0
x?x0例: 求 limx?sinx?01 x 解: 由 limx?0 而 sinx?01?1 x故 原式 =limx?sinx?01?0 x
4、利用无穷小量与无穷大量的关系。
3
（I）若：limf(x)?? 则 lim1?0 f(x)1?? f(x)(II) 若: limf(x)?0 且 f(x)≠0 则 lim例: 求下列极限 ① lim11 ②lim
x?1x?1x??x?5解: 由 lim(x?5)?? 故 lim
5、等价无穷小代换法
1?0
x??x??x?51由 lim(x?1)?0 故 lim=?
x?1x?1x?1 定义:设?,?',?,?' 都是同一极限过程中的无穷小量，且有： ?~?,?~'?，
'?'
lim' 存在，
????'
则 lim 也存在，且有lim= lim'
???常见等量代换(当x→0时):sinx~x ,ln(1?x)~x,tanx~x,arcsinx~x
arctanx~x,ex?1~x,1?cosx~例1：求极限lim12x 2xln(1?x)
x?01?cosxxln(1?x)x?x解： lim?lim?2
x?01?cosxx?012x21?cosx2例2:求极限lim2
x?0xsinx2(x2)2 解: sinx~x, 1?cosx~
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