由例4-14和例4-15可以看出：在梁上无荷载作用的区段，其剪力图都是平行于x轴的直线。在集中力作用处，剪力图是不连续的，我们称之为剪力图突变，突变的绝对值等于集中力的数值；在梁上无荷载作用的区段，其弯矩图是斜直线，在集中力作用处，弯矩图发生转折，出现尖角现象。
例4-16 作图4-49a所示外伸梁在集中力偶作用下的剪力图、弯矩图。已知：解 (1)求支座反力。取梁AD为隔离体，由平衡方程
。
(2)列剪力方程和弯矩方程。以梁的端截面、集中力、集中力偶的作用截面为分段的界限，将梁分成AB、BC、CD三段。
AB段：在AB段的任意位置x1，处取截面，并取截面左侧研究，由作用在左侧梁段上的外力可知：
BC段：在BC段的任意位置x2处取截面，并取截面右侧研究，由作用在右侧梁段上的外力可知：
(3)作剪力图和弯矩图。
剪力图：AB段的剪力方程为常函数，BC段、CD段的剪力方程也为常函数，所以每段只需要确定一个控制截面的剪力值即可。
图4-49
AB段的剪力值为-FP，BC段的剪力值为0，CD段的剪力值为0，在A日段范围内平行于x轴作数值等于一F，的直线作出AB段的剪力图；在BC段范围内平行于x轴作数值等于0的直线作出BC段的剪力图，在CD段范围内平行于z轴作数值等于0的直线作出CD段的剪力图。作出的剪力图如图4-49b所示。
我们发现在B处由于有集中力的作用，剪力图在该处发生了突变现象；而在C处有集中力偶作用，剪力图在该处偏左、偏右的数值没发生变化，我们称之为剪力图在C处无变化。
弯矩图：AB段的弯矩方程为一次函数，需要确定两个控制截面的弯矩值： BC段、CD段的弯矩方程为常函数，只需要分别确定一个控制截面的弯矩值即可。
AB段：
BC段：不论x2取何值，该段上的弯矩恒为-4FPa。 CD段：不论x3，取何值，该段上的弯矩恒为0。
将MA=0与MB=-4FPa连线作出AB段的弯矩图；在BC段范围内平行于x轴按比例作数值等于-4FPa的直线作出BC段的弯矩图；在CD段范围内平行于 x轴作数值等于0的直线作出CD段的弯矩图。作出的弯矩图如图4-49c所示。
由例4-16可以看出：在集中力偶作用处，剪力图无变化，弯矩图不连续。发生突变。突变的绝对值等于集中力偶的力偶矩数值。而且在梁上无荷载作用的区段，当剪力图为与x轴重合的直线(即剪力图为平行于x轴的直线，且数值为零)时。弯矩图是一条平行于x轴的直线，特殊情况下与x轴重合(如例题4-16中的CD段)。
例4-17作图4-50a所示简支梁在满跨向下均布荷载作用下的剪力图和弯矩图。 解 (1)求支座反力。由对称关系可知
(2)列剪力方程和弯矩方程。在距左端点为x的位置取任意截面，并取截面左侧研究，由该段上的外力可得
图4-50 (3)作剪力图和弯矩图。
由剪力方程可知：剪力为x的一次函数，所以剪力图为一条斜直线，需要确定两个控制截面的数值。
将
与
连线得梁的剪力图，如图4-50b所示。
由弯矩方程可知：弯矩为x的二次函数，弯矩图为一条二次抛物线，至少需要确定三个控制截面的数值。
将
三点连线得梁的弯矩图，如图4-50c所示。
对于简支梁在满跨向下均布荷载作用下的弯矩图，今后在学习中经常用到，希望将这个弯矩图非常牢固地记住。
例4-18作图4-51a所示外伸梁在满跨向下均布荷载作用下的剪力图和弯矩图。 解 (1)求支座反力。由平衡方程
(2)列剪力方程和弯矩方程。根据梁的端截面及集中力的作用截面将梁分成AB、曰C两段。 在AB段上距左端点为x，的位置取任意截面，并取截面左侧研究，由该段上的外力可得
在BC段上距右端点为x2的位置取任意截面，并取截面右侧研究，由该段上的外力可得
(3)作剪力图和弯矩图。由剪力方程可知：剪力为x的一次函数，剪力图为斜直线，各段上分别需要确定两个控制截面的数值。
将FQA=2.1qa与FQB=-2.9qa连线，将FQB=-2qa与FQC=0连线得梁的剪力图，如图4-51b所示。
由弯矩方程可知：弯矩为x的二次函数，弯矩图为二次抛物线，各段上分别需要 确定三个控制截面的数值。
2
当x1=2.1a时，剪力等于零；弯矩取得该段上的极值Mmax=2.2qa。
L
R
图4-51
将
与
和
三点连线得AB段梁的弯矩图；将
与
和
三点连线得BC段梁的弯矩图，如图4-51c所示。
由例4-16及例4-17可以看出：在水平梁上有向下均布荷载作用的区段。剪力图为从左向右的下斜直线。弯矩图为开口向上(下凸)的二次抛物线；在剪力为零的截面处，弯矩存在极值。
上述通过几个典型例题总结出的一些规律具有普遍意义，对于今后快速作图、检查剪力图和弯矩图的正确性都非常有用，应该重点掌握。
2.3.3.2.2用简捷法绘制梁的剪力图和弯矩图 2.3.3.2.2.1荷载与剪力图和弯矩图的关系规律
上节通过对用剪力方程和弯矩方程作出的剪力图和弯矩图进行分析，总结出了剪力图和弯矩图的一些规律和特征，并发现作用在梁上的荷载和剪力、弯矩之间存在一种特定的关系。应用这些规律可以简化作图的过程。
表4-1 梁上荷载和剪力图、弯矩图的关系 梁段上荷 剪力图形状或特 弯矩图形状或特征 说明 序号 载情况 征 无均布荷载 剪力图为平行线。弯矩图为斜直线或平行线 平行线是指与x轴平行的直线 l (q=0) 可为正、负、零 斜直线是指与x轴斜交的直线 有均布荷载 剪力图为斜直线 弯矩图为二次抛物线 2 (q≠0) 在FQ=0处， |】If有极值 抛物线的开口方向与均布荷载的指向相反(或抛物线的突向与均布荷载的指向一致) 集中力 剪力图出现突变现象 弯矩图出现尖角 3 作用处 剪力突变的数值等于集中力的大小弯矩图尖角的方向与集中力的指向相同 4 集中力偶 剪力图无变化 作用处 弯矩图出现突变 弯矩突变的数值等于集中力偶的力偶矩大小 2.3.3.2.2.2用简捷法绘制梁的剪力图和弯矩图
利用梁的剪力图、弯矩图与荷载之间的规律作梁的内力图，通常称为简捷法作剪力图、弯矩图。同时，我们还可以用这些规律来校核剪力图和弯矩图的正确性，避免作图时出现的错误。用简捷法作剪力图和弯矩图的步骤如下：
1)求支座反力。对于悬臂梁由于其一端为自由端，所以可以不求支座反力。
2)将梁进行分段。梁的端截面、集中力、集中力偶的作用截面、分布荷载的起止截面都是梁分段时的界线截面。
3)由各梁段上的荷载情况，根据规律确定其对应的剪力图和弯矩图的形状。 4)确定控制截面，求控制截面的剪力值、弯矩值，并作图。 控制截面是指对内力图形能起控制作用的截面。当图形为平行直线时，只要确定一个截面的内力数值就能作出图来，此时找到一个控制截面就行了；当图形为斜直线时就需要确定两个截面的内力数值才能作出图来，此时要找到两个控制截面；而当图形为抛物线时就需要至少确定三个截面的内力数值才能作出图来，此时至少要找到三个控制截面；一般情况下，选梁段的界线截面、剪力等于零的截面、跨中截面为控制截面。
例4-19 用简捷法作图4-52a所示外伸梁的剪力图和弯矩图。 解 (1)求支座反力。
(2)将梁进行分段。根据梁上的外力情况将梁分成三段：CA段、AB段、日D段。
(3)由各梁段上的荷栽情况，根据规律确定其对应的剪力图和弯矩图的形状，见表4-2。
表4-2
梁段名称 剪力图的形状 弯矩图的形状 CA段 AB段 BD段 水平直线 水平直线 斜直线 直线 直线 开口向上抛物线
(4)确定控制截面，求控制截面的剪力值、弯矩值，并作图。水平直线确定一控制截面即可；斜直线确定两个控制截面；抛物线至少确定三个控制截面，见 表4-3。
表4-3
图4-52 个
注：表中内力符号的右下标表示梁段的截面位置，如FQDB=10kN表示BD段B截面的剪力为10kN。右上标表示
DB
中点，如M=-1.25 kN·m表示DB段的中点弯矩值。
为了使作出的剪力图和弯矩图准确，通常边作图边用剪力图和弯矩图的特征(见表4-1)检查图形是否正确。 作出的剪力图和弯矩图如图4-52b、C所示。
例4-20 用简捷法作图4-53a所示外伸粱的剪力图和弯矩图。已知：M=12kN·m。q=2kN／m。
