图时，将正的轴力画在轴线上方，负的轴力画在轴线下方。
【例4-6】一直杆受轴向外力作用如图4-20(a)所示，试用截面法求各段杆的轴力。 【解】(1)用截面法求各段杆横截面上的轴力
AB段取1—1截面左部分杆件为研究对象，其受力如图4-20(a)所示，由平衡条件 得
BC段取2—2截面左部分杆件为研究对象，其受力如图4-20 (c)所示，由平衡条件,得
CD段取3—3截面右部分杆为研究对象，其受力如图4-20(d)所示，由平衡条件,得
(2)画轴力图
根据上面求出各段杆轴力的大小及其正负号画出轴力图，如图4-20(e)所示：
【例4-7】试画出图4-21(a)所示阶梯柱的轴力图，已知F=40kN。
【解】(1)求各段柱的轴力
图4-20
(2)画轴力图
根据上面求出各段柱的轴力画出阶梯柱的轴力图，如图4-21(b)所示。
值得注意的是：①在采用截面法之前，外力不能沿其作用线移动。因为将外力移动后就改变了杆件的变形性质，内力也就随之改变。②轴力图、受力图应与原图各截面对齐。当杆水平放置时，正值应画在与杆件轴线平行的横坐标轴的上方，而负值则画在下方，并必须标出正号或负号，如图4-20所示；当杆件竖直放置时正、负值可分别画在杆轴线两侧并标出正号或负号。轴力图上必须标明横截面的轴力值、图
图4-21 名及其单位，还应适当地画一些与杆件轴线垂直的直线。当熟练时，可以不画
各段杆的受力图，直接画出轴力图，横坐标轴z和纵坐标轴N也可以省略不画，如图4-21(b)所示。
从前面的几个例题的计算中我们会发现：截面上的轴力与所研究的杆段上的外力之间存在一种关系，即轴力等于所取杆段（左段或右段）上外力的代数和。在计算轴力时，外力的方向背离截面（引起拉力）取正号，外力的方向指向截面（引起压力）取负号。用这种规律求轴力可以省去列平衡方程，使计算简化。 2.2扭转内力 2.2.1扭转的概念
扭转变形是杆件基本变形之一。在垂直杆件轴线的两平面内，作用一对大小相等、转向相反的力偶时，杆件就产生扭转变形。大多数受扭的杆件其横截面为圆形，受扭的圆截面杆称为圆轴。圆轴扭转的变形特点是杆件的各横截面绕杆轴线发生相对转动。其中杆件任意两截面间相对转动的角度称为扭
图4-22 转角，用ψ表示。如图4-22中的ψ角就是曰截面相对A截面的扭转角。
图4-23 图4-24
在工程中，以扭转变形为主的杆件是很多的。如汽车转向盘的操纵杆(图4-23)、搅拌器的主轴(图4-24)、钻探机的钻杆和机械的传动轴等。 2.2.2圆轴扭转时横截面上的内力 2.2.2.1外力偶矩的计算
作用于轴上的外力偶，有时在工程中并不是已知的，常常是已知轴所传递的功率和轴的转速，再由下式求出外力偶矩，即
(4—11) 式中，P为轴传递的功率(kW)；n为轴的转速(r／min)；M。为轴上的外力偶矩(N·m)。 若功率的单位为马力，则外力矩的计算公式为
2.2.2.2扭矩
圆轴横截面上的内力仍通过截面法来进行分析。下面以图4-25（a）所示两端承受外力偶矩Me作用的圆轴为例，来说明求任意横截面m—m上内力的方法。用假想截面沿截面m-m将轴截开，任取一段(如左段)，如图4-25（b）所示。由于圆轴AB是平衡的，因此截取部分也处于平衡状态，根据力偶的性质，横截面m-m上必有一个内力偶矩与外力偶矩肘。平衡，我们把这个内力偶矩称为扭矩，用T表示，单位为N·m或kN·m。由平衡条件得
(4—12)
若取右段为研究对象，如图4-25（c）所示，由平衡条件得
与取左段为研究对象结果相同。
以上结果说明，计算某截面上的扭矩，无论取该截面左侧还是
右侧为研究对象，求出的扭矩大小都相等且转向相反，它们是作用与反作用的关系。 为了使从截面左、右两侧求得同一截面的扭矩不但数值相等，而且有同样的正负号，用右手螺旋法则规定扭矩的正负号。即以右手四指表示扭矩的转向，若大拇指的指向与横截面的外法线n指向一致时，扭矩为正(图9．5a)；反之，扭矩为负(图9—5b)。当横截面上扭矩的实际转向未知时，一般先假设扭矩为正。若求得结果为正，表示扭矩实际转向与假设相同；若求得结果为负，则表示扭矩实际转向与假设相反。
图4-25 图4-26 例4-8 如图4-27（a）所示，一传动系统的主轴，其转速n=960r／min，输入功率PA=27．5kW，输出功率P。：20kW，PB=7．5kW。试求指定截面1-1、2-2上的扭矩。
解 (1)计算外力偶矩。由式(4-11)得
同理可得
(2)计算扭矩。用截面法分别计算截面1-l、2-2上的扭矩。 截面l-1：
假想地沿截面1-1处将轴截开，取左段为研究对象，并假设截面l-1上的扭矩为T1，且为正方向(图4-27b)，由平衡条件得
图4-27 负号表示该截面上的扭矩实际转向与假设转向相反，即为负方向。 截面2-2：
假想沿截面2-2将轴截开，取左段为研究对象，并假设截面2-2上的扭矩为疋，且为正方向(图4-27c)，由平衡条件得
负号表示该截面上的扭矩实际转向与假设转向相反，即为负方向。
若以截面2-2右段为研究对象(图4-27d)，同理，由平衡条件
得
所得结果与取左段为研究对象的结果相同，计算却比较简单。所以计算某截面上的扭矩时。应取受力比较简单的一段为研究对象。
由上面的计算结果不难看出：受扭杆件任一横截面上扭矩的大小。等于此截面一侧(左或右)所有外力偶矩的代数和。
2.2.2.3扭矩图
当轴上同时作用两个以上的外力偶时，横截面上的扭矩随截面位置的不同而变化。反映轴各横截面上扭矩随截面位置不同而变化的图形称为扭矩图。根据扭矩图可以确定最大扭矩值及其所在截面的位置。
扭矩图的绘制方法与轴力图相似。需先以轴线为横轴z、以扭矩r为纵轴，建立卜z坐标系，然后将各截面上的扭矩标在卜z坐标系中，正扭矩在x轴上方，负扭矩在x轴下方。
下面通过例题说明扭矩图绘制的方法和步骤。
例4-9 传动轴如图4-28a所示，主动轮A输入功率PA=120kW，从动轮B、 C、D输出功率分别为PB=30kW，PC=40kW，PD=50kW，轴的转速n=300 r／min。试作出该轴的扭矩图。
解 (1)计算外力偶矩。由式(4-11)得
同理可得
(2)计算扭矩。根据作用在轴上的外力偶，将轴分成鲋、AC和CD三段．用截面法分别计算各段轴的扭矩，如图4-28b、c、d所示。
(3)作扭矩图。建立T-x坐标系．x轴沿轴线方向，T向上为正。将轴各横截面上的扭矩标在T-x坐标中。由于BA段各横截面上扭矩均为-0.95 kN·m，故扭矩图为平行于x轴的直线，且位于z轴下方；而AC段、CB段各横截面上扭矩分别为2.87kN·m和1.59kN·m，故扭矩图均为平行于x轴的直线，且位于x轴上方，于是得到如图4-28e所示的扭矩图。
从扭矩图可以看出，在集中力偶作用处，其左右截面扭矩不同，此处发生突变，突变值等于集中力偶矩的大小：最大扭矩发生在AC段内，且Tmax=2.87kN·m。
讨论 对同一根轴来说，若把主动轮A与从动轮B对调，即把主动轮布置于轴的左端(图4-29a)，则得到该轴的扭矩图(图4-29b)。这时轴的最大扭矩发生在AB段内，且Tmax=3.82kN·m。
比较图4-28e和图4-29b可见，传动轴上主动轮和从动轮布置的位置不同，轴所承受的最大扭矩也随之改变。轴的强度和刚度都与最大扭矩值有关。因此．在布置轮子位置时，要尽可能降低轴内的最大扭矩值。显然图4-28布局比较合理．
图4-28
2.3弯曲内力
图4-29 2.3.1平面弯曲的概念
2.3.1.1弯曲和平面弯曲 2.3.1.1.1弯曲
在工程中我们经常遇到这样一些情况：杆件所受的外力的作用线是垂直于杆轴线的平衡力系(或在纵向平面内作用外力偶)。在这些外力作用下，杆的轴线由直线变成曲线(图4-30)，图中虚线表示梁在外力作用下变形后的轴线)。这种变形称为弯曲。凡是以弯曲为主要变形的杆件通常称之为梁。
梁是工程中一种常用的杆件，尤其是在建筑工程中，它占有特别重要的地位。如房屋 建筑中常用于支承楼板的梁(图4-31)，阳台的挑梁(图4-32)，门窗过梁(图4-33)，厂 房中的吊车梁(图4-34)，粱式桥的主梁(图4-35)等等。
图4-30
