第四章 三角函数、解三角形 第1讲 任意角、弧度制及任意角的三
角函数习题 理 新人教A版
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、选择题
1.已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限( ) A.第一象限 C.第三象限
B.第二象限 D.第四象限
解析 由题意知tan α＜0，cos α＜0，∴α是第二象限角. 答案 B
2.已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝( ) 4A. 5
3B. 5
3C.－
5－4
4D.－
5
解析 由三角函数的定义知cos α＝答案 D
4＝－ . 225（－4）＋3
3.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为( ) A.π
3
B.π 2
C.3 D.2
解析 设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为3r，所以3r＝α·r， ∴α＝3. 答案 C
3π3π??4. (2016·日照模拟)已知点P?sin ，cos ?落在角θ的终边上，且θ∈[0， 44??2π)，则θ的值为( ) A.
π3π5π7π
B. C. D. 4444
3π3π
解析 由sin ＞0，cos ＜0知角θ是第四象限的角，
443πcos
47π
∵tan θ＝＝－1，θ∈[0，2π)，∴θ＝.
3π4sin
4
1
答案 D
5.若α是第三象限角，则y＝
?sinα??cosα?????2??2??
αsin
2
＋αcos
2
的值为( )
A.0 B.2 C.－2 D.2或－2
3
解析 ∵α是第三象限角，∴2kπ＋π＜α＜2kπ＋π(k∈Z)，
2πα3π
∴kπ＋＜＜kπ＋(k∈Z)，
224∴
α
是第二象限角或第四象限角. 2
ααsincos22α
当是第二象限角时，y＝－＝0， 2αα
sincos22
ααsincos
22α
当是第四象限角时，y＝－＋＝0，故选A. 2αα
sincos
22答案 A 二、填空题
6.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，25
且sin θ＝－，则y＝______.
5解析 因为sin θ＝2
25＝－， 22
54＋yy所以y＜0，且y＝64，所以y＝－8. 答案 －8 7.函数y＝sin x－
3
的定义域为________. 2
解析 ∵sin x≥
33
，作直线y＝交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围22
的终边的范围，故满足条件的角α的集合为
成的区域(图中阴影部分)即为角α
??π2π
?x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z?.
33??
2
π2π??答案 ?2kπ＋，2kπ＋?，k∈Z 33??
8. (2016·泰安模拟)在直角坐标系中，O是原点，A点坐标为(3，－1)，将OA绕O逆时针旋转450°到B点，则B点的坐标为________.
解析 设B(x，y)，由题意知|OA|＝|OB|＝2，∠BOx＝60°，且点B在第一象限， ∴x＝2cos 60°＝1，∴y＝2sin 60°＝3， ∴B点的坐标为(1，3). 答案 (1，3) 三、解答题
9.已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值. 解 ∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上， ∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)， 则x＝4t，y＝－3t，
r＝x2＋y2＝（4t）2＋（－3t）2＝5|t|，
当t>0时，r＝5t，
sin α＝y－3r＝t5t＝－35，cos α＝xr＝4t5t＝4
5，
tan α＝y－3t3
x＝4t＝－4
；
当t<0时，r＝－5t，sin α＝y－3t3
r＝－5t＝5
，
cos α＝xr＝4t4y－3－5t＝－5，tan α＝x＝t4t＝－3
4
.
综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34或sin α＝34
5，cos α＝－5，
tan α＝－3
4
.
10.一个扇形OAB的面积是1 cm2
，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB. 解 设圆的半径为r cm，弧长为l cm，
3
1???lr＝1，?r＝1，2则?解得?
?l＝2.???l＋2r＝4，
∴圆心角α＝＝2弧度.
如图，过O作OH⊥AB于H，则∠AOH＝1弧度. ∴AH＝1·sin 1＝sin 1 (cm)，∴AB＝2sin 1 (cm).
能力提升题组 (建议用时：20分钟)
πsin θcos θ
11.已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝＋＋5|sin θ||cos θ|tan θ
的值为( )
|tan θ|A.1
B.－1
C.3
D.－3
lrπ
解析 由α＝2kπ－(k∈Z)及终边相同的角的概念知，角α的终边在第四象限，又角
5θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.所以y＝－1＋1－1＝－1. 答案 B
12. (2016·威海模拟)点P从(1，0)出发，沿单位圆x＋y＝1逆时针方向运动
2
2
2π
弧长到达3
Q点，则Q点的坐标为( )
3??1
A.?－，? ?22?3??1
C.?－，－?
2??2
B.?－D.?－
?
???
31?，－? 22?31?，? 22?
2π2π?3??1?解析 由题意知Q点坐标为?cos ，sin?，即?－，?. 33???22?答案 A
13.如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点
P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP的坐标为
________.
→
4
︵
解析 如图，作CQ∥x轴，PQ⊥CQ, Q为垂足.根据题意得劣弧DP＝2，故∠DCP＝2，则在π
△PCQ中，∠PCQ＝2－，
2
?π??π?|CQ|＝cos?2－?＝sin 2，|PQ|＝sin?2－?＝－cos 2，
2?2???
所以P点的横坐标为2－|CQ|＝2－sin 2，P点的纵坐标为1＋|PQ|＝1－cos 2，所以P→
点的坐标为(2－sin 2，1－cos 2)，故OP＝(2－sin 2，1－cos 2). 答案 (2－sin 2，1－cos 2)
π
14.如图所示，动点P，Q从点A(4，0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，3点Q按顺时针方向每秒钟转
π
弧度，求点P，点Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐6
标及P，Q点各自走过的弧长.
解 设P，Q第一次相遇时所用的时间是t， π?π?则t·＋t·?－?＝2π.所以t＝4(秒)， 3?6?即第一次相遇的时间为4秒.
π4π
设第一次相遇点为C，第一次相遇时P点和Q点已运动到终边在·4＝的位置，则xC33ππ
＝－cos ·4＝－2，yC＝－sin ·4＝－23.
33所以C点的坐标为(－2，－23).
P点走过的弧长为π·4＝π. Q点走过的弧长为π·4＝π.
23
83
43163
5
