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5.2(1) 任意角的三角比
上海市杨浦高级中学 方耀华
一、教学内容分析
通过平面直角坐标系定义了任意角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六个三角比，并利用与单位圆有关的线段，将前三个三角比的值分别用它们的几何形式表示出来；接着着重研究正弦、余弦、正切这三个三角比的条件和其在各个象限的符号；并根据三角比的定义，得出“终边重合的角的同一三角比的值相等”的结论及把此结论表示成为第一组诱导公式（公式一）．
二、教学目标设计
(1) 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角?的正弦、余弦、正切值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；
(2) 了解余切、正割、余割的定义；掌握正弦、余弦、正切等三角比对角?的条件要求； (3) 体会同一角三角比的值，不因在其终边上取点的变化而变化，从而启示在研究问题时，要能在千变万化中，抓住事物的本质属性，不被表面现象所迷惑． 三、教学重点及难点
重点：任意角的三角比的定义．
难点：用单位圆中的有向线段表示角的正弦、余弦、正切值．
四、教学流程设计
实例引入 概念辨析 巩固练习 拓展与思考 五、教学过程设计一、情景引入
作业及反馈 总结提炼 回顾：在初中我们学习了锐角的三角比，它是在直角三角形的条件下，通过角?的对边、邻边与斜边之间两两的比值来定义的.例如：
sin??tan??MPOM cos?? OPOPMPOM cot?? OMMPP?O中小学教育资源站 http://www.edudown.net
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引入：前面我们对角的概念进行了扩充，并学习了弧度制，知道角的集合与实数集是一一对应的，在这个基础上，今天我们研究任意角的三角比.
把锐角?置于平面直角坐标系xOy中，锐角?的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限.易知P在角?的终边上，设它的坐标为(x,y)，它与原点的距离r?x2?y2?0，可发现作为锐角?的三角比能用其终边上的点的坐标来定
义，而这种定义方法可用于定义任意角的三角比. 二、学习新课 1、概念形成
? 任意角的三角比定义 设?是一个任意角，在?的终边上任取一点P(x,y)（除原点）， 则P与原点的距离r?比值
x2?y2?0， y叫做?的正弦 记作： sin??rx比值叫做?的余弦 记作： cos??ry比值叫做?的正切 记作： tan??x比值
y rx ry x角?的终边yP(x,y)?oxxx叫做?的余切 记作： cot?? yyrr叫做?的正割 记作： sec?? xx比值
比值rr叫做?的余割 记作： csc?? yy提问：对于确定的角?，这六个三角比值的大小与P点在角?终边上的位置是否有关？ 利用相似三角形的知识，可以得出对于确定的角?，这六个三角比值的大小与P点在角?的终边上的位置无关． 提问：根据这六个三角比的定义，是否对于任意的一个角?，它的六个三角比都存在呢？ (1) 当角?的终边在纵轴上时，即??k??为0，所以tan?、sec?无意义；
(2) 当角?的终边在横轴上时，即??k?(k?Z)时，终边上任意一点P的纵坐标y都为0，所以cot?、csc?无意义.
?2(k?Z)时，终边上任意一点P的横坐标x都
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??k?(k?Z)?从而有：cos? R sec? ??k??(k?Z)
2?tan???k??(k?Z)csc???k?(k?Z)sin?Rcot?]2[说明]
](1) 以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.
(2) OP是角?的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角?是任意的.
(3) sin?是个整体符号，不能认为是“sin”与“?”的积，其余五个符号也是这样. (4) 三角比值只与角的大小有关.
(5) 任意角三角比的定义与锐角三角比的定义的联系与区别:
任意角的三角比就包含了锐角三角比，实质上锐角三角比的定义与任意角的三角比的定义是一致的，锐角三角比是任意角三角比的一种特例. 所不同的是，锐角三角比是以边的比来定义的，任意角的三角比是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的.
为了便于记忆，我们可以利用两种三角比定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角比进行类比记忆.
2、三角比的一种几何表示 （一）单位圆和有向线段
(1) 单位圆：半径等于单位长度1的圆叫做单位圆.
(2) 有向线段（非严格定义）：带有方向的线段叫做有向线段.
设任意角?的顶点在原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点
P(x,y)，过P作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0)作单位圆的切线，设它与角?的终
边（当?在第一、四象限角时）或其反向延长线（当?为第二、三象限角时）相交于T. 规定：当OM与x轴同向时为正值，当OM与x轴反向时为负值；
当MP与y轴同向时为正值，当MP与y轴反向时为负值； 当AT与y轴同向时为正值，当AT与y轴反向时为负值； 根据上面规定，则OM?x,MP?y,
利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线，余弦线，正切线.如下图3．
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图3
由正弦、余弦、正切三角比的定义有
sin??yy??y?MP r1xx??x?OMr1cos??
tan??yMPAT???AT xOMOA这几条与单位圆有关的有向线段MP,OM,AT叫做角?的正弦线、余弦线、正切线．当角?的终边在x轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角?的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线则不存在．
例1：已知角?的终边经过点P(2,?3)，求?的六个三角函数值.
答：sin??y?3313x2213 cos??? ????r13r131313y3x2?? cot???? x2y3tan??中小学教育资源站 http://www.edudown.net
