选修2-2 1.3.3 函数的最大（小）值与导数
一、选择题
1．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，则f′(x)( ) A．等于0 B．大于0 C．小于0
D．以上都有可能
[答案] A
[解析] ∵M＝m，∴y＝f(x)是常数函数 ∴f′(x)＝0，故应选A.
2．设f(x)＝1x4＋1x3＋1
x2432在[－1,1]上的最小值为( )
A．0 B．－2 C．－1
D.1312
[答案] A
[解析] y′＝x3＋x2＋x＝x(x2＋x＋1) 令y′＝0，解得x＝0.
∴f(－1)＝513
12，f(0)＝0，f(1)＝12 ∴f(x)在[－1,1]上最小值为0.故应选A.
3．函数y＝x3＋x2－x＋1在区间[－2,1]上的最小值为( A.22
27 B．2 C．－1
D．－4
[答案] C
[解析] y′＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(x＋1) 令y′＝0解得x＝1
3
或x＝－1
当x＝－2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝2； 当x＝13时，y＝22
27；当x＝1时，y＝2.
所以函数的最小值为－1，故应选C.
4．函数f(x)＝x2－x＋1在区间[－3,0]上的最值为( ) A．最大值为13，最小值为34
B．最大值为1，最小值为4 C．最大值为13，最小值为1
)
D．最大值为－1，最小值为－7 [答案] A
[解析] ∵y＝x2－x＋1，∴y′＝2x－1，
令y′＝0，∴x＝1
2，f(－3)＝13，f?1?2??＝34，f(0)＝1. 5．函数y＝x＋1－x在(0,1)上的最大值为( ) A.2 B．1 C．0
D．不存在
[答案] A [解析] y′＝
1111－2x－21－x＝2·x－x
x·1－x 由y′＝0得x＝1
2，在??0，12??上y′>0，在?1?2，1??上 y′<0.∴x＝1
2时y极大＝2，
又x∈(0,1)，∴ymax＝2. 6．函数f(x)＝x4－4x (|x|<1)( ) A．有最大值，无最小值 B．有最大值，也有最小值 C．无最大值，有最小值 D．既无最大值，也无最小值 [答案] D
[解析] f′(x)＝4x3－4＝4(x－1)(x2＋x＋1)． 令f′(x)＝0，得x＝1.又x∈(－1,1) ∴该方程无解，
故函数f(x)在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.
7．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( A．5，－15
B．5,4 C．－4，－15
D．5，－16
[答案] A
[解析] y′＝6x2－6x－12＝6(x－2)(x＋1)， 令y′＝0，得x＝2或x＝－1(舍)． ∵f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4， ∴ymax＝5，ymin＝－15，故选A.
8．已知函数y＝－x2－2x＋3在[a,2]上的最大值为15
4
，则a等于(
) )
3A．－
21C．－
2[答案] C
1B. 213D.或－ 22
[解析] y′＝－2x－2，令y′＝0得x＝－1. 当a≤－1时，最大值为f(－1)＝4，不合题意． 当－1 最大值为f(a)＝－a2－2a＋3＝， 413 解得a＝－或a＝－(舍去)． 22 9．若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是 ( ) A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3 B．－3 D．不存在这样的实数 [答案] B [解析] 因为y′＝3x2－12，由y′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y′<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以有k－1<－2 10．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是( ) A．[3，＋∞) C．(－3，＋∞) [答案] B [解析] ∵f(x)＝x3＋ax－2在[1，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝3x2＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立 即a≥－3x2在[1，＋∞)上恒成立 又∵在[1，＋∞)上(－3x2)max＝－3 ∴a≥－3，故应选B. 二、填空题 33 11．函数y＝x＋(1－x)，0≤x≤1的最小值为______． 22[答案] 2 2 B．[－3，＋∞) D．(－∞，－3) 11 由y′>0得x>，由y′<0得x<. 22 11120，?上为减函数，在?，1?上为增函数，∴最小值在x＝时取得，ymin＝. 此函数在??2??2?2212．函数f(x)＝5－36x＋3x2＋4x3在区间[－2，＋∞)上的最大值________，最小值为________． 3 [答案] 不存在；－28 4 [解析] f′(x)＝－36＋6x＋12x2， 333 令f′(x)＝0得x1＝－2，x2＝；当x>时，函数为增函数，当－2≤x≤时，函数为减2223?33 函数，所以无最大值，又因为f(－2)＝57，f?＝－28，所以最小值为－28. ?2?44 x3 13．若函数f(x)＝2(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________． 3x＋a[答案] 3－1 x2＋a－2x2a－x2 [解析] f′(x)＝2＝2 (x＋a)2(x＋a)2令f′(x)＝0，解得x＝a或x＝－a(舍去) 当x>a时，f′(x)<0；当0 a33＝，a＝<1，不合题意． 2a32 13 ＝，解得a＝3－1. 1＋a3 14．f(x)＝x3－12x＋8在[－3,3]上的最大值为M，最小值为m，则M－m＝________. [答案] 32 [解析] f′(x)＝3x2－12 由f′(x)>0得x>2或x<－2， 由f′(x)<0得－2 ∴f(x)在[－3，－2]上单调递增，在[－2,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增． 又f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8， f(3)＝－1， ∴最大值M＝24，最小值m＝－8， ∴M－m＝32. 三、解答题
