2.3.1 直线与平面垂直的判定学案
一．学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的判定，掌握直线与平面垂直的定义，理解直线与平面垂直的判定定理，并会用定义和判定定理证明直线与平面垂直的关系. 掌握线面角的定义及求解.
二．重点、难点： 重点： 难点：
三．知识要点：
1. 定义：如果直线l与平面?内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面?互相垂直，记作l??. l－平面?的垂线，?－直线l的垂面，它们的唯一公共点P叫做垂足.（线线垂直?线面垂直）
2. 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 符号语言表示为：若l⊥m，l⊥n，m∩n＝B，m??，n??，则l⊥?
3. 斜线和平面所成的角，简称“线面角”，它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角. 求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简述为“作（作出线面角）→证（证所作为所求）→求（解直角三角形）”. 通常，通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线是产生线面角的关键.
四．自主探究： （一）例题精讲：
2【例1】四面体ABCD中，AC?BD,E,F分别为AD,BC的中点，且EF?AC，
2o?BDC?90，求证：BD?平面ACD.
//1AC， 证明：取CD的中点G，连结EG,FG，∵E,F分别为AD,BC的中点，∴EG?2//1BD. FG?211又AC?BD,∴FG?AC，∴在?EFG中，EG2?FG2?AC2?EF2，
22o∴EG?FG，∴BD?AC，又?BDC?90，即BD?CD，ACICD?C， ∴BD?平面ACD.
【例2】已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值.
解：取CD的中点F，连接EF交平面ABC1D1于O，连AO.
由已知正方体，易知EO?平面ABC1D1，所以?EAO为所求. 在Rt?EOA中，EO?sin?EAO?15112，AE?()2?12?， EF?A1D?22222EO10. ?AE510. 5PB?AC，PO?平面ABC，垂足为【例3】三棱锥P?ABC中，PA?BC，O，求证：O为底面△ABC的垂心.
证明：连接OA、OB、OC，∵ PO?平面ABC， ∴ PO?BC,PO?AC.
所以直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值为PB?AC， 又 ∵ PA?BC，∴ BC?平面PAO，AC?平面PBO，得AO?BC，BO?AC,
∴ O为底面△ABC的垂心.
点评：此例可以变式为“已知PA?BC，，其思路是接着利PB?AC，求证PC?AB”
用射影是垂心的结论得到OC?AB后进行证明. 三条侧棱两两垂直时，也可按同样的思路证出.
【例4】已知Rt?ABC，斜边BC//平面?，A??, AB，AC分别
C与平面?成30°和45°的角，已知BC=6，求BC到平面?的距离.
解：作BB1??于B1，CC1??于C1，则由BC//?，得
BB1?CC1，且CC1就是BC到平面?的距离，
C1BB1设CC1?x，连结AB1,AC1，则?BAB1?30o,?CAC1?45o， ∴AC?2x,AB?2x，
?A在Rt?ABC中，BC?6,?BAC?90o，∴36?2x2?4x2，∴x?6，即BC到平面?的距离为6．
点评：由直线与平面的平行，直接作平面的垂线段即为线面距离. 此题通过两条垂线段把所已知的线面角同时作出，利用解直角三角形的知识和方程思想容易解决问题.
五．目标检测： （一）基础达标
1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于（ ）.
A．平面OAB B．平面OAC C．平面OBC D．平面ABC 2．若直线l?平面?，直线m??，则（ ）.
S A．l?m B．l可能和m平行 C．l和m相交 D． l和m不相交
3．在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现沿SE、SF、
EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合为点G，则有（ ）. A. SG⊥面EFG B. EG⊥面SEF C. GF⊥面SEF D. SG⊥面SEF
G1 E 4．直线a⊥直线b，b⊥平面?，则a与β的关系是（ ）.
A．a⊥? B. a∥β． C．a?? D．a??或a∥? 5．（04年湖南卷.理4文5）把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（ ）.
A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°
6．在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件 时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种即可，不必考虑所有可能的情形）.
7．设三棱锥P?ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出以下说法：
①若PA?BC，PB?AC，则H是?ABC垂心； ②若PA,PB,PC两两互相垂直，则H是?ABC垂心；
③若?ABC?90o，H是AC的中点，则PA?PB?PC； ④若PA?PB?PC，则H是?ABC的外心.
其中正确说法的序号依次是 . （二）能力提高
D18．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是CC1的中点，F是AC,BD的交点，求证：A1F?平面BED．
A1B1EG3 F G2
C1DFABGC
9．如图，ABCD是矩形，PA?平面ABCD，PA?AD?a,AB?2a，E是线段PD上
PEBF1的点，F是线段AB上的点，且??．求直线EF与平面ABCD所成角的
EDFA2正弦值.
（三）探究创新
10．如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°,
CD（1）证明：C1C⊥BD； （2）当的值为多少时，可使A1C⊥面C1BD？
CC1
