§1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示
第1课时 集合的含义
学习目标 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性(重点、难点).2.了解元素与集合间的“从属关系”(重点).3.记住常用数集的表示符号并会应用．
预习教材P2，完成下面问题： 知识点1 元素与集合的概念
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：一些元素组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的． (4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性． 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)漂亮的花可以组成集合．( )
(2)由方程x2－4＝0和x－2＝0的根组成的集合中有3个元素．( ) (3)元素1,2,3和元素3,2,1组成的集合是不相等的．( ) 提示 (1)× “漂亮的花”具有不确定性，故不能组成集合．
(2)× 由于集合中的元素具有互异性，故由两方程的根组成的集合中有2个元素． (3)× 集合中的元素具有无序性，所以元素1,2,3和元素3,2,1组成的集合是同一集合． 知识点2 元素与集合的关系 关系 属于 不属于 概念 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A 记法 a∈A a?A 读法 a属于集合A a不属于集合A 【预习评价】 思考 设集合A表示“1～10以内的所有素数”，3,4这两个元素与集合A有什么关系？
如何用数学语言表示？
提示 3是集合A中的元素，即3属于集合A，记作3∈A；4不是集合A中的元素，即4不属于集合A，记作4?A.
知识点3 常用数集及表示符号
数集 符号 【预习评价】 (1)若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是( ) A．3.14 7
C．
8
B．－2 D．7 非负整数集 (自然数集) N 正整数集 N*或N＋ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R (2)若2 解析 (1)由选项知7是实数，但不是有理数，故选D． (2)大于2且小于10的整数为2和3，故x＝2或3. 答案 (1)D (2)2或3 题型一 集合的判定问题 【例1】 下列每组对象能否构成一个集合： (1)我们班的所有高个子同学； (2)不超过20的非负数； (3)直角坐标平面内第一象限的一些点； (4)3的近似值的全体． 解 (1)“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合．(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以“3的近似值”不能构成集合． 规律方法 判断一组对象能否构成集合的依据 【训练1】 给出下列说法： ①中国所有的直辖市可以构成一个集合； ②高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合； ③正偶数的全体可以构成一个集合； ④大于2 011且小于2 017的所有整数不能构成集合． 其中正确的有________(填序号)． 解析 ②中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素的确定性，所以②错误；④中的所有整数能构成集合，故④错误． 答案 ①③ 题型二 元素与集合的关系 1 【例2】 (1)给出下列关系：①∈R；②2?Q；③|－3|?N；④|－3|∈Q；⑤0?N.其 2中正确的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 6 (2)集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________． 3－x解析 (1)①②正确；③④⑤不正确． (2)∵ 666∈N，x∈N，∴当x＝0时，＝2∈N，∴x＝0满足题意；当x＝1时，3－x3－x3－x 66 ＝3∈N，∴x＝1满足题意；当x＝2时，＝6∈N，∴x＝2满足题意，当x>3时，<0 3－x3－x不满足题意，所以集合A中的元素为0,1,2. 答案 (1)B (2)0,1,2 规律方法 判断元素与集合关系的两个关键点 判断一个元素是否属于一个集合，一要明确集合中所含元素的共同特征，二要看该元素是否满足该集合中元素的共同特征． 【训练2】 设集合M是由不小于23的数组成的集合，a＝11，则下列关系中正确的是( ) A．a∈M B．a?M C．a＝M D．a≠M 解析 判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是．∵11<23，∴a?M. 答案 B 典例迁移 题型三 集合中元素的特性 【例3】 已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3是集合A中的元素，试求实数a的值． 解 因为－3是集合A中的元素， 所以－3＝a－3或－3＝2a－1. 若－3＝a－3，则a＝0， 此时集合A含有两个元素－3，－1，符合要求； 若－3＝2a－1，则a＝－1， 此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合要求． 综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1. 【迁移1】 (变换条件)若把本例中的条件“－3是集合A中的元素”去掉，求a的取值范围． 解 由集合元素的互异性知a－3≠2a－1，解得a≠－2，故实数a的取值范围是a≠－2. 【迁移2】 (变换条件)若本例中的集合A含有两个元素1和a2，且a∈A，则实数a的值是什么？ 解 由a∈A可知，当a＝1时，此时a2＝1，与集合元素的互异性矛盾，所以a≠1；当a＝a2时，a＝0或1(舍去)．综上可知a＝0. 规律方法 利用集合中元素的互异性求参数的策略及注意点 (1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中的元素的互异性对集合中的元素进行检验． (2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用． 课堂达标 1．下列能构成集合的是( ) A．中央电视台著名节目主持人 B．我市跑得快的汽车 C．上海市所有的中学生 D．香港的高楼 解析 A，B，D中研究的对象不确定，因此不能构成集合． 答案 C 2．由形如x＝3k＋1，k∈Z的数组成集合A，则下列表示正确的是( ) A．－1∈A B．－11∈A 解析 －11＝3×(－4)＋1，故选B． 答案 B 3．下列三个命题： ①集合N中最小的数是1； ②－a?N，则a∈N； C．15 D．32
