2013届高三一轮复习课时训练22
正弦定理和余弦定理
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若C＝120°，c＝2a，则( ) A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a与b的大小关系不能确定
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解析：选A.由余弦定理可得，c＝a＋b－2abcosC， 又C＝120°，
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∴2a＝a＋b2＋ab，
∴a2＝b2＋ab＞b2，∴a＞b. 2．(2011·高考福建卷)若△ABC的面积为3，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于________．
13解析：由于S△ABC＝3，BC＝2，C＝60°，∴3＝×2·AC·，∴AC＝2，∴△ABC为正三角形，∴AB＝2.
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答案：2
3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足(2b－c)·cosA－acosC＝0. (1)求角A的大小；
33(2)若a＝3，S△ABC＝，试判断△ABC的形状，并说明理由．
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解：(1)法一：∵(2b－c)cosA－acosC＝0， 由正弦定理得，
(2sinB－sinC)cosA－sinAcosC＝0， ∴2sinBcosA－sin(A＋C)＝0， 即sinB(2cosA－1)＝0. ∵0 1 ∴cosA＝. 2 π ∵0 法二：∵(2b－c)cosA－acosC＝0， 由余弦定理得， b2＋c2－a2a2＋b2－c2 (2b－c)·－a·＝0， 2bc2ab 整理得b2＋c2－a2＝bc， b2＋c2－a21 ∴cosA＝＝. 2bc2 π ∵0 24π33即bcsin＝， 32 ∴bc＝3.① ∵a2＝b2＋c2－2bccosA， ∴b2＋c2＝6.② 由①②得b＝c＝3， ∴△ABC为等边三角形． 一、选择题 1．已知△ABC中，a＝c＝2，A＝30°，则b＝( ) A.3 B．23 C．33 D.3＋1 解析：选B.∵a＝c＝2，∴A＝C＝30°，∴B＝120°.由余弦定理可得b＝23. c2．(2012·郑州六校质量检测)△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若＜cosA，则△ABC为( ) b A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 sinC 解析：选A.依题意得＜cosA，sinC＜sinBcosA，所以sin(A＋B)＜sinBcosA，即sinBcosA＋cosBsinA－sinBcosA＜0， sinB 所以cosBsinA＜0.又sinA＞0，于是有cosB＜0，B为钝角，△ABC是钝角三角形． 3．(2011·高考重庆卷)若△ABC的内角A、B、C满足6sinA＝4sinB＝3sinC，则cosB＝( ) 153A. B. 4431511C. D. 1616 解析：选D.由6sinA＝4sinB＝3 sinC 得sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4. 设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 则由正弦定理知a∶b∶c＝2∶3∶4， 不妨设a＝2k，b＝3k，c＝4k(k>0)， 222 a2＋c2－b2(2＋4－3)k211 则cosB＝＝＝. 2ac2×2k×4k16 7 4．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知b2＝c(b＋2c)，若a＝6，cosA＝，则△ABC的面积等于( ) 8 A.17 B.15 15C. D．3 2 解析：选C.∵b2＝c(b＋2c)，∴b2－bc－2c2＝0， 即(b＋c)·(b－2c)＝0，∴b＝2c. b2＋c2－a27 又a＝6，cosA＝＝，解得c＝2，b＝4. 2bc8 117215∴S△ABC＝bcsinA＝×4×2× 1－＝. 2282 5．在△ABC中，已知A＝60°，b＝43，为使此三角形只有一个，则a满足的条件是( ) A．0＜a＜43 B．a＝6 C．a≥43或a＝6 D．0＜a≤43或a＝6 解析：选C. () 三角形有唯一解时，即由a，b，A只能画唯一的一个三角形(如图)．所以a＝bsinA或a≥b，即a＝6或a≥43. 二、填空题 π 6．在△ABC中，若b＝5，∠B＝，tanA＝2，则sinA＝_________；a＝________. 4 25πab 解析：由tanA＝2得sinA＝2cosA.又sin2A＋cos2A＝1得sinA＝.∵b＝5，∠B＝，根据正弦定理，应有＝，54sinAsinB bsinA25∴a＝＝＝210. sinB22 25答案： 210 5 7．(2011·高考课标全国卷)△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________． 222 解析：由余弦定理知AC＝AB＋BC－2AB·BCcos120°， 2 即49＝25＋BC＋5BC，解得BC＝3. 113153故S△ABC＝AB·BCsin120°＝×5×3×＝. 2224153答案： 4 8．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若(3b－c)·cosA＝acosC，则cosA＝________. 解析：依题意由正弦定理得： (3sinB－sinC)·cosA＝sinA·cosC， 即3sinB·cosA＝sin(A＋C)＝sinB， 3∴cosA＝. 33答案： 3 三、解答题 9．(2012·成都调研)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且A，B，C成等差数列，求角B的大小，并判断△ABC的形状． 解：∵A，B，C成等差数列，A＋B＋C＝π， π ∴2B＝A＋C，∴B＝. 32 由余弦定理，得b＝a2＋c2－ac，① 又∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.② 由①，②知a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0， ∴a＝c. π 又∵B＝，∴△ABC是等边三角形． 3 4 10．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosB＝，b＝2. 5 (1)当A＝30°时，求a的值； (2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值． 43 解：(1)因为cosB＝，所以sinB＝. 55aba10 由正弦定理＝，可得＝. sinAsinBsin30°35 所以a＝. 3 13 (2)因为△ABC的面积S＝acsinB，sinB＝， 25 3 所以ac＝3，ac＝10. 10 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB， 8 得4＝a2＋c2－ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20. 52 所以(a＋c)－2ac＝20，(a＋c)2＝40， 所以，a＋c＝210. 1 11．(2011·高考浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sinA＋sinC＝psinB(p∈R)，且ac＝b2. 4 5 (1)当p＝，b＝1时，求a，c的值； 4 (2)若角B为锐角，求p的取值范围． 5a＋c＝，??4 解：(1)由题设并由正弦定理，得? 1??ac＝4，a＝1，1??a＝4，解得?1或? c＝，?4?c＝1. 2 (2)由余弦定理，b＝a2＋c2－2accosB ＝(a＋c)2－2ac－2accosB 1131 ＝p2b2－b2－b2cosB，即p2＝＋cosB. 2222 3 因为0 2 6所以 ()
