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2014年高三一轮复习基础重点精练
(理)
(2012·宁夏三市联考)在平行四边形ABCD中，已知AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，
→
3
[答案] － 2
→→→→→→→→→→→111
[解析] AE·BD＝(AD＋DC)·(BA＋BC)＝AD·BA＋AD·BC＋DC·BA＋DC·BC2223
＝－. 2
8．(2011·河北玉田一中质检)已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函数f(x)＝a·b在区间(－1,1)上是增函数，则t的取值范围为________．
[答案] t≥5
[解析] 由题意知，f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t，则f ′(x)＝－3x2＋2x＋t.若f(x)在(－1,1)上是增函数，则f ′(x)≥0在(－1，1)上恒成立?t≥3x2－2x在区间(－1，1
1)上恒成立，令g(x)＝3x－2x，由于g(x)的图象是对称轴为x＝、开口向上的抛物线，故3
2
→
E为CD的中点，则AE·BD＝________.
→→→
要使t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立，必有t≥g(－1)成立，即t≥5成立．故使f(x)在(－1,1)上是增函数的t的取值范围是t≥5.
9.
如图，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半
→
→
→
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2013年10月18日星期五
径OC上的动点，则(PA＋PB)·PC的最小值为________．
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9
[答案] － 2
→
→
→
→
→
[解析] 设PC＝x，则0≤x≤3.(PA＋PB)·PC＝2PO·PC＝－2x〓(3－x)＝2x2－6x＝→→→
32992(x－)－，所以(PA＋PB)·PC的最小值为－.
222
10．已知两个不共线的向量a，b的夹角为θ，且|a|＝3，|b|＝1，x为正实数． (1)若a＋2b与a－4b垂直，求tanθ；
π
(2)若θ＝，求|xa－b|的最小值及对应的x值，并指出向量a与xa－b的位置关系．
6[解析] (1)由题意得，(a＋2b)·(a－4b)＝0.
即a2－2a·b－8b2＝0，得32－2〓3〓1〓cosθ－8〓12＝0， 1π
得cosθ＝，又θ∈(0，π)，故θ∈(0，)，
62因此，sinθ＝1－cos2θ＝tanθ＝
sinθ＝35. cosθ1－16
2
＝
35， 6
(2)|xa－b|＝＝
xa－b2
＝x2a2－2xa·b＋b2
9x－36
2
π
9x2－2x〓3〓1〓cos＋1＝
61＋， 4
故当x＝
31时，|xa－b|取得最小值， 62
3π
〓9－3〓1〓cos＝0，故向量a与xa－b垂直. 66
此时，a·(xa－b)＝xa2－a·b＝【能力拓展提升】
→
→
→→→→→
11.(文)已知不共线向量OA、OB，且2OP＝xOA＋yOB，若PA＝λAB(λ∈R)，则点(x，
y)的轨迹方程是( )
A．x＋y－2＝0 C．x＋2y－2＝0 [答案] A
→
→
→
→
→
→
[解析] 由PA＝λAB得，OA－OP＝λ(OB－OA)，
B．2x＋y－1＝0 D．2x＋y－2＝0
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→→
→
→→
→
即OP＝(1＋λ)OA－λOB. 又2OP＝xOA＋yOB，
??x＝2＋2λ，??消去λ得x＋y＝2，故选A. y＝－2λ，??
→
4，则点A的坐标是( )
A．(2，〒2) C．(1,2) [答案] B
[解析] 由题意F(1,0)，设A(，y0)，
4→
2y0
2y0
→
(理)设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若OA·AF＝－
B．(1，〒2) D．(2,22)
→
则OA＝(，y0)，AF＝(1－，－y0)，
44→
2
y0
2y0
→
2y0
≧OA·AF＝－4，
?(1－)－y20＝－4，解得y0＝2或y0＝－2. 44?当y0＝2时，x0＝＝1；
4当y0＝－2时，x0＝＝1.
4故A(1，〒2)．故选B.
π
12．(2011·北京东直门中学模拟)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在
2
→
则A·ω等于( )
→
2y02y0
一个周期内的图象如图所示，M、N分别是这段图象的最高点和最低点，且OM·ON＝0，
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πA. 6C.7
π 6
B.7π 127π 3
D.
[答案] C
ππ
[解析] 由图可知，T＝4(－)＝π，?ω＝2.
312π
≧M(，1)在图象上，
12π
?sin(2〓＋φ)＝1，
12
πππ
≧|φ|＝，?φ＝，?y＝Asin(2x＋)，
233→→π7π
又≧M(，A)，N(，－A)，OM·ON＝0，
1212π7π7
?〓－A2＝0，?A＝π， 121212?A·ω＝2〓
77
π＝π，故选C. 126
→
→
→
→
→
→
→
13．(文)△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，OA＋AB＋AC＝0，且|OA|＝|AB|，向量CA在CB方向上的投影为( )
A．－3 C.3 [答案] C
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B．－3 D．3
