v?ΔrΔt?r2?r1t2?t1?2.0i?6.0j
(3) 质点在任意时刻的速度和加速度分别为
v(t)?vxi?vyj?dxdt2i?dydtj?2.0i?4.0tj
a(t)?dxdt22i?dydt2j??4.0m?s?2j
则t1 ＝1.00ｓ时的速度
v(t)｜t ＝1ｓ＝2.0i -4.0j
切向和法向加速度分别为
att?1s?dvdtet?ddt2(vx?vy)et?3.58m?set
2?222?2an?a?aten?1.79m?sen
(4) t ＝1.0ｓ质点的速度大小为
v?vx?vy?4.47m?sv222?1
则ρ?an?11.17m
1 -13 飞机以100 m·ｓ-1 的速度沿水平直线飞行,在离地面高为100 m时,驾驶员要把物品空投到前方某一地面目标处,问：(1) 此时目标在飞机正下方位置的前面多远？ (2) 投放物品时,驾驶员看目标的视线和水平线成何角度？(3) 物品投出2.0ｓ后,它的法向加速度和切向加速度各为多少？
分析 物品空投后作平抛运动．忽略空气阻力的条件下,由运动独立性原理知,物品在空中沿水平方向作匀速直线运动,在竖直方向作自由落体运动．到达地面目标时,两方向上运动时间是相同的．因此,分别列出其运动方程,运用时间相等的条件,即可求解．
此外,平抛物体在运动过程中只存在竖直向下的重力加速度．为求特定时刻t时物体的切向加速度和法向加速度,只需求出该时刻它们与重力加速度之间的夹角α或β．由图可知,在特定时刻t,物体的切向加速度和水平线之间的夹角α,可由此时刻的两速度分量vx 、vy求出,这样,也就可将重力加速度g 的切向和法向分量求得．
解 (1) 取如图所示的坐标,物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为
x ＝vt, y ＝1/2 gt2
飞机水平飞行速度v＝100 m·s-1 ,飞机离地面的高度y＝100 m,由上述两式可得目标在飞机正下方前的距离
x?v2yg?452m
(2) 视线和水平线的夹角为
θ?arctanyx?12.5
o(3) 在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为
α?arctanvyvx?arctangtv
取自然坐标,物品在抛出2s 时,重力加速度的切向分量与法向分量分别为
gt???2at?gsinα?gsin?arctan??1.88m?s
v??gt???2an?gcosα?gcos?arctan??9.62m?s
v??1 -16一质点沿半径为R 的圆周按规律s?v0t?12bt运动,v0 、b 都是常量．(1) 求t
2时刻质点的总加速度；(2) t 为何值时总加速度在数值上等于b？(3) 当加速度达到b 时,质点已沿圆周运行了多少圈？
分析 在自然坐标中,s 表示圆周上从某一点开始的曲线坐标．由给定的运动方程s ＝s(t),对时间t 求一阶、二阶导数,即是沿曲线运动的速度v 和加速度的切向分量aｔ,而加速度的法向分量为an＝v2 /R．这样,总加速度为a ＝aｔeｔ＋anen．至于质点在t 时间内通过的路程,即为曲线坐标的改变量Δs＝st -s0．因圆周长为2πR,质点所转过的圈数自然可求得．
解 (1) 质点作圆周运动的速率为
v?dsdt?v0?bt
其加速度的切向分量和法向分量分别为
at?dsdt22??b, an?v2R?(v0?bt)R2
故加速度的大小为
a?a?a2n2t?atb?(v0?bt)R224
其方向与切线之间的夹角为
?(v0?bt)2?θ?arctan?arctan???
atRb??an(2) 要使｜a｜＝b,由
1RRb?(v0?bt)224?b可得
t?v0b
(3) 从t＝0 开始到t＝v0 /b 时,质点经过的路程为
s?st?s0?v022b
因此质点运行的圈数为
n?s2πR?v024πbR
1 -17 一半径为0.50 m 的飞轮在启动时的短时间内,其角速度与时间的平方成正比．在t＝2.0ｓ 时测得轮缘一点的速度值为4.0 m·ｓ-1．求：(1) 该轮在t′＝0.5ｓ的角速度,轮缘一点的切向加速度和总加速度；(2)该点在2.0ｓ内所转过的角度．
分析 首先应该确定角速度的函数关系ω＝kt．依据角量与线量的关系由特定时刻的速度值可得相应的角速度,从而求出式中的比例系数k,ω＝ω(t)确定后,注意到运动的角量描述与线量描述的相应关系,由运动学中两类问题求解的方法(微分法和积分法),即可得到特定时刻的角加速度、切向加速度和角位移．
解 因ωR ＝v,由题意ω∝t2 得比例系数
k?ωt22
?vRt22?2rad?s?3
所以 ω?ω(t)?2t
则t′＝0.5ｓ 时的角速度、角加速度和切向加速度分别为
ω?2t??0.5rad?sα?dωdt2?1
?2?4t??2.0rad?s?2
at?αR?1.0m?s
总加速度
a?an?at?αRet?ωRen
2a??αR?2??ω2R?2222?1.01m?s?2
在2.0ｓ内该点所转过的角度
θ?θ0??0ωdt??02tdt?23t320?5.33rad
31 -18 一质点在半径为0.10 m的圆周上运动,其角位置为θ?2?4t,式中θ 的单位为rad,t 的单位为ｓ．(1) 求在t ＝2.0ｓ时质点的法向加速度和切向加速度．(2) 当切向加速度
的大小恰等于总加速度大小的一半时,θ 值为多少？(3) t 为多少时,法向加速度和切向加速度的值相等？
分析 掌握角量与线量、角位移方程与位矢方程的对应关系,应用运动学求解的方法即可得到．
解 (1) 由于θ?2?4t3,则角速度ω?加速度的数值分别为
anatt?2sdθdt?12t．在t ＝2 ｓ 时,法向加速度和切向
2?rω?2.30m?s?r22?2
dωdtt?2s?4.80m?s2?2(2) 当at?a/2?12an?at时,有3at?an,即
223?24rt??r?12t2224?
得 t3?此时刻的角位置为
123
θ?2?4t?3.15rad
3(3) 要使an?at,则有
3?24rt??r?12t2224?
t ＝0.55ｓ
