课时作业(二十六) [第26讲 平面向量的数量积及应用]
[时间：45分钟 分值：100分]
基础热身
11?
1．[2011·六安模拟] 设向量a＝(1,0)，b＝??2，2?，则下列结论中正确的是( ) 2
2
C．a－b与b垂直 D．a∥b A．|a|＝|b| B．a·b＝
a·a?2．[2011·襄阳模拟] 若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－?b?b，则向量a与c的?a·夹角为( )
πππA．0 B. C. D. 632
→→→→→
3．已知A(2,0)，B(0,1)，O是坐标原点，动点M满足OM＝λOB＋(1－λ)OA，并且OM·AB>2，则实数λ的取值范围是( )
6
A．λ>2 B．λ> 5
6
C.<λ<2 D．1<λ<2 5
4．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为( )
6513A. B.65 C. D.13 55能力提升
→→
5．[2011·内江模拟] 平面上O，A，B三点不共线，设OA＝a，OB＝b，则△OAB的面积等于( )
A.|a|2|b|2－?a·b?2 B.|a|2|b|2＋?a·b?2 1C.|a|2|b|2－?a·b?2 21
D.|a|2|b|2＋?a·b?2 2
6．[2011·三明联考] 半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一
→→→
点，若P为半径OC的中点，则(PA＋PB)·PC的值是( )
A．－2 B．－1 C．2
D．无法确定，与C点位置有关 7．已知两个力F1、F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，则F1的大小为( )
A．53 N B．5 N C．10 N D．52 N 8．[2011·江西师大附中等重点学校联考] 已知两不共线向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，则下列说法不正确的是( ) ．．．
A．(a＋b)⊥(a－b)
B．a与b的夹角等于α－β C．|a＋b|＋|a－b|>2
D．a与b在a＋b方向上的投影相等
→→→→→
9．[2011·日照模拟] 在△ABC所在平面上有三点P、Q、R，满足PA＋PB＋PC＝AB，QA→→→→→→→
＋QB＋QC＝BC，RA＋RB＋RC＝CA，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为( )
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5 10．[2011·新余二模] 已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|a－3b|等于________．
11．[2010·金华十校] △ABO三顶点坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平
→→→→→→
面内一点，满足AP·OA≤0，BP·OB≥0，则OP·AB的最小值为________．
12．[2011·宜昌模拟] 已知平面向量α，β(α≠0，α≠β)满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的取值范围是________．
13．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b夹角为45°，则使a＋λb与λa＋b的夹角为钝角时，λ的取值范围是________________________________________________________________________．
3x3xxxπcos，sin?，b＝?cos，－sin?，且x∈?0，?. 14．(10分)已知向量a＝?2?2??2?2?2?(1)求：a·b及|a＋b|的值；
3
(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值．
2
→
15．(13分)在?ABCD中，A(1,1)，AB＝(6,0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P.
→
(1)若AD＝(3,5)，求点C的坐标；
→→
(2)当|AB|＝|AD|时，求点P的轨迹．
难点突破
16．(12分)[2011·黄冈中学等八校二联] 已知a＝(cosx＋sinx，sinx)，b＝(cosx－sinx,2cosx)．
(1)求证：向量a与向量b不可能平行； (2)若a·b＝1，且x∈[－π，0]，求x的值．
课时作业(二十六)
【基础热身】
1．C [解析] A项，∵|a|＝1，
1?2?1?22
|b|＝?＋＝?2??2?2， ∴|a|≠|b|，A错；
111
B项，∵a·b＝1×＋0×＝，B错；
222
11??11，＝，－?， C项，∵a－b＝(1,0)－?2??22??2
11?11?11，－?·，∴(a－b)·b＝?2??22?＝4－4＝0，C对； ?211
D项，∵1×－0×≠0，∴a不平行于b.故选C.
22
a???a－?a·2．D [解析] ∵a·c＝a·b?b? ??a·
a2?22?＝a·a－?a·a·b＝a－a＝0， b?
π
又a≠0，c≠0，∴a⊥c，∴〈a，c〉＝，故选D.
2
→→→→→
3．B [解析] 根据向量减法的几何意义得AB＝OB－OA，所以OM·AB>2，
→→→→→→→→即[λOB＋(1－λ)OA]·(OB－OA)>2，即λOB2－(1－λ)OA2＋(1－2λ)OA·OB>2，即λ－(1－
6
λ)×4>2，解得λ>.
5
5a·b2×?－4?＋3×7
4．A [解析] ∵cosθ＝＝＝，
|a||b|4＋9·16＋495
565
∴a在b方向上的投影|a|cosθ＝22＋32×＝. 55
【能力提升】
a·b
5．C [解析] ∵cos〈a，b〉＝，
|a||b|∴sin〈a，b〉＝1－cos2〈a，b〉
a·b?2
＝1－??|a||b|?
|a|2|b|2－?a·b?2＝，
|a||b|
1→→→→
∴S△OAB＝|OA||OB|sin〈OA，OB〉
2
1
＝|a||b|sin〈a，b〉 21
＝|a|2|b|2－?a·b?2，故选C. 2
→→→→→
6．A [解析] (PA＋PB)·PC＝2PO·PC＝－2. 7．B [解析] |F1|＝|F|·cos60°＝5 N.
8．B [解析] a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，则|a|＝|b|＝1，设a，b的夹角是θ，则a·b
cosθ＝＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)，∴θ与α－β不一定相等．
|a||b|
→→→→→→→→→→→→
9．B [解析] 由PA＋PB＋PC＝AB，得PA＋PC＝AB－PB，即PA＋PC＝AB＋BP， →→→→→
PA＋PC＝AP，∴PC＝2AP，P为线段AC的一个三等分点，同理可得Q、R的位置，△PQR的面积为△ABC的面积减去三个小三角形面积，∴面积比为1∶3.
