五年级下学期 第5讲
分析 若先求乘积，再求余数，计算量太大.利用同余的性质可以使“大数化小”，减少计算量。
解：∵418≡2（mod13），
814≡8（mod13），1616≡4（mod13）， ∴ 根据同余的性质5可得：
418×814×1616≡2×8×4≡64≡12（mod13）。 答：乘积418×814×1616除以13余数是12。 例3 求14389除以7的余数。
分析 同余的性质能使“大数化小”，凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小.这道题先把底数在同余意义下变小，然后从低次幂入手，重复平方，找找有什么规律。 解法1：∵143≡3（mod7） ∴14389≡389（mod 7） ∵89＝64+16+8+1 而32≡2（mod 7）， 34≡4（mod7）， 38≡16≡2（mod 7）， 316≡4（mod 7）， 332≡16≡2（mod 7）， 364≡4（mod 7）。
∵389≡364·316·38·3≡4×4×2×3≡5（mod 7）， ∴14389≡5（mod 7）。 答：14389除以7的余数是5。 解法2：证得14389≡389（mod 7）后， 36≡32×34≡2×4≡1（mod 7）， ∴384≡（36）14≡1（mod 7）。
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∴389≡384·34·3≡1×4×3≡5（mod 7）。 ∴14389≡5（mod 7）。
例4 四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色，?，这样一直进行下去.请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列？
分析 与解答经观察试验我们可以发现，每经过4次互换，四盏灯的颜色排列重复一次，而1小时=60分钟=120×30秒，所以这道题实质是求120除以4的余数，因为120≡0（mod 4），所以开灯1小时四盏灯的颜色排列刚好同一开始一样。
十位，?上的数码，再设M=a0＋a1＋?＋an，求证：N≡M（mod 9）。
分析 首先把整数N改写成关于10的幂的形式，然后利用10≡1（mod 9）。
又∵ 1≡1（mod 9）， 10≡1（mod 9）， 102≡1（mod 9）， ?
10n≡1（mod 9），
上面这些同余式两边分别同乘以a0、a1、a2、?、an，再相加得： a0＋a1×10+a2×102+?+an×10n ≡a0＋a1＋a2＋?＋an（mod 9）， 即 N≡M（mod 9）.
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五年级下学期 第5讲
这道例题证明了十进制数的一个特有的性质： 任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。
以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。
例如，求1827496被9除的余数，只要先求（1+8＋2＋7＋4＋9＋6），再求和被9除的余数。
再观察一下上面求和式.我们可以发现，和不一定要求出.因为和式中1＋8，2+7，9被9除都余0，求余数时可不予考虑.这样只需求4＋6被9除的余数.因此，1827496被9除余数是1。
有人时常利用十进制数的这个特性检验几个数相加、相减、相乘的结果对不对，这种检查方法叫：弃九法。
弃九法最经常地是用于乘法.我们来看一个例子。 用弃九法检验乘式5483×9117≡49888511是否正确？ 因为 5483≡5＋4＋8＋3≡11≡2（mod 9）， 9117≡9＋1＋1＋7≡0（mod 9）， 所以 5483×9117≡2×0≡0（mod 9）。 但是 49888511≡4+9＋8+8+8＋5+1+1 ≡8（mod9），
所以 5483×9117≠49888511，即乘积不正确。
要注意的是弃九法只能知道原题错误或有可能正确，但不能保证一定正确。 例如，9875≡9＋8+7+5≡2（mod 9）， 4873≡4＋8＋7＋3≡4（mod 9）， 32475689≡3+2+4+7＋5+6+8+9 ≡8（mod 9），
这时，9875×4873≡2×4≡32475689（mod 9）。
但观察个位数字立刻可以判定9875×4873≠32475689.因为末位数字5和3相乘不可能等于9。
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弃九法也可以用来检验除法和乘方的结果。 例6 用弃九法检验下面的计算是否正确： 23372458÷7312＝3544。 解：把除式转化为： 3544×7312＝23372458。
∵ 3544≡3＋5＋4＋4≡7（mod 9）， 7312≡7＋3＋1＋2≡4（mod 9）， ∴ 3544×7312≡7×4≡1（mod 9）， 但 23372458≡2＋3＋3＋8≡7（mod 9）。 而 17（mod 9）
∴ 3544×7312≠23372458， 即 23372458÷7312≠3544。
例7 求自然数2100＋3101＋4102的个位数字。
分析 求自然数的个位数字即是求这个自然数除以10的余数问题。 解：∵2100≡24×25≡625≡6（mod 10）， 3101≡34×25·31≡125·31≡3（mod 10）， 4102≡（22）100·42≡6·6≡6（mod 10）， ∴ 2100＋3101＋4102≡6＋3＋6≡5（mod 10）， 即自然数2100＋3101＋4102的个位数字是5.
习题五
1.验证对于任意整数a、b，式子a≡b（mod1）成立，并说出它的含义。
2.已知自然数a、b、c，其中c≥3，a除以c余1，b除以c余2，则ab除以c余多少？ 3.1993年的六月一日是星期二，这一年的十月一日是星期几？ 4.求33335555＋55553333被7除的余数。
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