高二数学寒假作业（1）
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF，GH交于一点P，则( )
A．P一定在直线BD上 B．P一定在直线AC上
C．P一定在直线AC或BD上
D．P既不在直线AC上，也不在直线BD上 2．下列推理错误的是( )
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB C．l?α，A∈l?A?α D．A∈l，l?α?A∈α 3．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是( ) A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④ 4．在空间中，下列说法中不正确的是( ) A．两组对边相等的四边形是平行四边形 B．两组对边平行的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
5．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于( ) A．30° B．45° C．60° D．90°
6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－C的平面角等于( ) A．30° B．45° C．60° D．90°
7．已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中正确的是( ) A．若m∥α，m∥n，则n∥α B．若m⊥α，n⊥α，则n⊥m C．若m⊥α，m∥β，则α⊥β D．若α⊥β，m?α，则m⊥β
8．如图(1)所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，如图(2)所示，那么，在四面体S－EFG中必有( )
A．SG⊥△EFG所在平面 B．SD⊥△EFG所在平面 C．GF⊥△SEF所在平面
D．GD⊥△SEF所在平面
9．如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB、CD在原正方体中的位置关系是( )
A．平行
B．相交且垂直 C．异面直线 D．相交成60°角
10．矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为( )
125125125125A．π B．π C．π D．π
12963
11．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．AC B．BD C．A1D D．A1D1 12．如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________．
14．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________．
15．如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情
况)．
16．下列四个命题：①若a∥b，a∥α，则b∥α；②若a∥α，b?α，则a∥b；③若a∥α，则a平行于α内所有的直线；④若a∥α，a∥b，b?α，则b∥α．
其中正确命题的序号是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)
如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AB、A1D1的中点，判断MN与平面A1BC1的位置关系，为什么？
18．(12分) 如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点．
求证：(1)EF∥面ACD； (2)面EFC⊥面BCD．
19．(12分) 如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB于点E，过E作EF⊥SC于点F．
(1)求证：AF⊥SC；
(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD．
20．(12分)如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．
(1)求证：PA∥面BDE；平面PAC⊥平面BDE； (2)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．
