福建省邵武第一中学 guanyoyo@126.com
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第15讲 排列组合二项式定理和概率
一、知识整合 二、考试要求：
1．掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题. 2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.
3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.
4．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题. 5．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义.
6．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.
7．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率.
8．会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率. Ⅰ、随机事件的概率
例1 某商业银行为储户提供的密码有0，1，2，…，9中的6个数字组成.
(1)某人随意按下6个数字，按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少？
(2)某人忘记了自己储蓄卡的第6位数字，随意按下一个数字进行试验，按对自己的密码的概率是多少？
解 （1）储蓄卡上的数字是可以重复的，每一个6位密码上的每一个数字都有0，1，2，?，9这
10种，正确的结果有1种，其概率为
61106，随意按下6个数字相当于随意按下10个，随意
11066按下6个数字相当于随意按下10个密码之一，其概率是.
(2)以该人记忆自己的储蓄卡上的密码在前5个正确的前提下，随意按下一个数字，等可能性的结果为0，1，2，?，9这10种，正确的结果有1种，其概率为
110.
例2 一个口袋内有m个白球和n个黑球，从中任取3个球，这3个球恰好是2白1黑的概率是多少？（用组合数表示）
解 设事件I是“从m个白球和n个黑球中任选3个球”，要对应集合I1，事件A是“从m个白
球中任选2个球，从n个黑球中任选一个球”，本题是等可能性事件问题，且Card(I1)=
C3m?n,Card(A)?C?C，于是P(A)=
2m1nCard(A)Card(I1)?Cm?CnC3m?n21.
Ⅱ、互斥事件有一个发生的概率
例3在20件产品中有15件正品，5件次品，从中任取3件，求：
（1）恰有1件次品的概率；（2）至少有1件次品的概率.
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解 （1）从20件产品中任取3件的取法有C20，其中恰有1件次品的取法为C15C5。
? 恰有一件次品的概率P=
321C15C5C32021?3576.
(2)法一 从20件产品中任取3件，其中恰有1件次品为事件A1,恰有2件次品为事件A2，3件全是次品为事件A3,则它们的概率 P(A1)=
C15C5C20321=
105228,P(A2)?C5C15C20321?2228,P(A3)?C533C20?2228,
而事件A1、A2、A3彼此互斥，因此3件中至少有1件次品的概率 P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=
137228.
法二 记从20件产品中任取3件，3件全是正品为事件A，那么任取3件，至少有1件次品为
A，根据对立事件的概率加法公式P(A)=1?P(A)?1?C15C2033?137228
例4 1副扑克牌有红桃、黑桃、梅花、方块4种花色，每种13张，共52张，从1副洗好的牌中任取4张，求4张中至少有3张黑桃的概率.
解 从52张牌中任取4张，有C52种取法.“4张中至少有3张黑桃”，可分为“恰有3张黑桃”和
“4张全是黑桃”，共有C?C3131394?C种取法?413C13?C39?C13C524314
注 研究至少情况时，分类要清楚。 Ⅲ、相互独立事件同时发生的概率
例5 猎人在距离100米处射击一野兔，其命中率为0.5，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次
射击，但距离150米. 如果第二次射击又未中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离为200米. 已知猎人的命中概率与距离的平方成反比，求猎人命中野兔的概率. 解 记三次射击依次为事件A，B，C，其中P(A)??P(B)?5000150212,由
12?P(A)?k1002，求得k=5000。
?29,P(C)?50002002?18,?命中野兔的概率为
P(A)?P(A?B)?P(A?B?C)?P(A)?P(A)P(B)?P(A)P(B)P(C)?12?(1?12)?29?(1?12)(1?29)?18?95144.
例6 要制造一种机器零件，甲机床废品率为0.05，而乙机床废品率为0.1，而它们的生产是独立
的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求：
（1）其中至少有一件废品的概率； （2）其中至多有一件废品的概率. 解： 设事件A为“从甲机床抽得的一件是废品”；B为“从乙机床抽得的一件是废品”.
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则P（A）=0.05, P(B)=0.1, （1）至少有一件废品的概率
P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?1?0.95?0.90?0.145
（2）至多有一件废品的概率
P?P(A?B?A?B?A?B)?0.05?0.9?0.95?0.1?0.95?0.9?0.995
Ⅳ、概率内容的新概念较多，本课时就学生易犯错误作如下归纳总结： 类型一 “非等可能”与“等可能”混同
例1 掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率．
错解 掷两枚骰子出现的点数之和2，3，4，…，12共11种基本事件，所以概率为P=
111
剖析 以上11种基本事件不是等可能的，如点数和2只有(1，1)，而点数之和为6有(1，5)、(2，
4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5种．事实上，掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能
的，所以“所得点数之和为6”的概率为P=类型二 “互斥”与“对立”混同
例2 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲
分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ）
A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．以上均不对 错解 A
剖析 本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，二者的联系与区别主要体现在 ：
(1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互斥概念适用于多个事件，但对立概念只
适用于两个事件；(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生． 事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发
生，一个不发生，可能两个都不发生，所以应选C． 类型三 “互斥”与“独立”混同
例3 甲投篮命中率为O．8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多
少?
错解 设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，则两人都恰好投中两次为事
件A+B，P(A+B)=P(A)+P(B)： c30.8?0.2?c30.7?0.3?0.825
剖析 本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰好投中2
次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．互斥事件是指两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生与否没有影响，它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关系是根本不同．
解： 设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，且A，B相互独立，
则两人都恰好投中两次为事件A·B，于是P(A·B)=P(A)×P(B)= 0.169
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2222536．
