格致中学 二〇一〇学年度第一学期期中考试
高三年级 数学(理科)试卷
(测试120分钟内完成，总分150分，试后交答题卷) 友情提示：昨天，你既然经历了艰苦的学习，今天，你必将赢得可喜的收获！ 祝你：诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利！ 一、填空题(本大题满分56分)：本大题共有14题，每个空格填对得4分，填错或不填一
律得零分. 1已知矩阵M???2?2a?,其中a?R?1?班级____________姓名________________学号____________准考证号______________ ,点P(1,?2)在矩阵M的变换下得到点P'(?4,0),则实
数a= . 2 函数f(x)?3sinax?cosax(a?0)的最小正周期为?,
0.036 0.024 0.01 频率 组距 最大值为b,则logab? ___ .
3 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽出了 一个容量为n的样本,其频率分布直方图如右图所示,其中 支出在[50,60)元的同学有30人,则n的值为 _____.
420 30 40 50 60 元 ?1?4 已知(a?x)5的展开式中x2的系数为k1,??x?(a?R,a?0)的展开式中x的系数为
?a?k2,则k1?k2?_____________.
5 已知函数y?f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x?2)?f(x),又当x?(0,1)时,
f(x)?2?1,则f(log16)的值等于__________________.
2x6 f(x)?cosxcos(30?x)?,则f?1???f?2???????f?58???f?59??? ____.
7 不等式x?3?x?1?a2?3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为________. 8 某校选派A、B两个班参加一次社会活动,其中A班有学生40名,其中男生24人；B班有学生50名,其中女生30人,现从A、B两班各找一名学生进行问卷调查,则找出的学生是一男一女的概率为 ____.
9 已知函数f(x)?log2x,等比数列{an}的首项a1?0,公比q?2, 若f(a2a4a6a8a10)?25,则2f(a1)?f(a2)???f(a2009)? ____ .
210 阅读下列材料:若两个正实数a1,a2满足a1?a2?1,那么a1?a2?22222.证明:构造函数
f(x)?(x?a1)?(x?a2)?2x?2(a1?a2)x?1,因为对一切实数x,恒有f(x)?0,所以
??0,从而得4(a1?a2)2?8?0,所以a1?a2?2222.根据上述证明方法,若n个正实数满足
a1?a2????an?1时,你能得到的结论为 . 二〇一〇学年度第一学期高三数学（理科）期中试卷 第 1 页 共 4 页
11已知抛物线C1:y2?2px和圆C2:??x??p?p2??y?2?422,其中
p?0,直线l经过C1的焦点,依次交C1,C2于A,B,C,D
四点,则AB?CD的值为_____________.
????????????12 已知P是?ABC内任一点,且满足AP?xAB?yAC,
x、y?R,则y?2x的取值范围是 ___ .
?m(1?|x|),x?(?1,1]f(x)?13 已知以T?4为周期的函数f(x)在(?1，,3]上的解析式为?21?(x?2),x?(1,3]?其中m?0,若方程3f(x)?x恰有5个实数解,则m的取值范围为______________. 14 定义函数f(x)?[x[x]],其中[x]表示不超过x的最大整数,如:[1.5]?1，[?1.3]??2,当
x?[0，n)(n?N)时,设函数f(x)的值域为A,记集合A中的元素个数为an,则式子
*an?90n的最小值为 .
二、选择题(本大题满分16分)：本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，每题选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个，一律得零分. 15“a?18ax”是“对任意的正数x,2x?
xcos??1”的 ( )
A 充分不必要条件 C 充要条件 16 若
3?2
?
ysin?
B 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件
???2?,则直线?1必不经过 ( )
A 第一象限; B 第二象限; C 第三象限; D 第四象限.
17 对于数列{an},若存在常数M,使得对任意n?N*,an与an?1中至少有一个不小于M,则记作{an}?M,那么下列命题正确的是 ( )
22}?M A．若{an}?M,则数列{an}各项均大于或等于M B．若{an}?M,则{anC． 若{an}?M,{bn}?M,则{an?bn}?2M D．若{an}?M,则{2an?1}?2M?1
18 如图E所示,是由底为1、高为1的等腰三角形及底为1、高分别为2和3的两个矩形所构成,函数S?S(a)(a?0)是图形E介于平行线y?0及y?a之间的那一部分面积,则函数
S(a)的图形大致为 ( )
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三、解答题(本大题满分78分)：本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 19 (本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分)
已知以角B为钝角的?ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,m?(a,2b)，
????n?(1,?sinA),且m?n. (1)求角B的大小；
(2)求sinA?cosC的取值范围.
20 (本题满分14分，第1小题4分，第2小题5分，第3小题5分)
如图.一个小球从M处投入,通过管道自上而下落到A或B或C.已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的.
某商家按上述投球方式进行促销活动,若投入的小球落到
A,B,C.则分别设为1,2,3等奖.
??(1)求投入小球1次获得1等奖的概率；
(2)已知获得1,2,3等奖的折扣率分别为50%,70%,90%.记随 机变量?为获得k(k?1,2,3)等奖的折扣率.求随机变量?的 分布列及数学期望E?；
(3)若有3人次(投入1球为1人次)参加促销活动,记随机变量? 为获得1等奖或2等奖的人次.求P(??2). (即求3次中有二次获得1等奖或2等奖的概率)
21．(本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分)
如图,四棱锥P?ABCD中，PA?平面ABCD，底面ABCD为直角梯形,且AB//CD，
??BAD?90,PA?AD?DC?2,AB?4.
(1)求证:BC?PC；
(2)求PB与平面PAC所成的角的正弦值； (3)求点A到平面PBC的距离.
DPABC二〇一〇学年度第一学期高三数学（理科）期中试卷 第 3 页 共 4 页
22 (本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分)
设数列?an?的前n项和为Sn,对一切n?N*,点??n,?Sn?都在函数f(x)?x?1的图像?n?上.
(1)求数列?an?的通项公式；
(2)将数列?an?依次按1项、2项、3项、4项循环地分为?a1?,?a2,a3?,?a4,a5,a6?，
?a7,a8,a9,a10?；?a11?,?a12,a13?,?a14,a15,a16?,?a17,a18,a19,a20?；?a21?,?,分别计算各个
括号内各数之和,设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为?bn?,求b5?b100的值； (3)设An为数列??an?1??的前n项积,若不等式An?an?an?1?f?a?1??32a对一切n?N*都成
立,求a的取值范围.
23 (本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)
已知抛物线C:y2?2px(p?0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1. (1)求抛物线C的方程；
(2)若过焦点F的直线交抛物线于M,N两点,M在第一象限,且MF?2NF,求直线MN的方程；
(3)求出一个数学问题的正确结论后,将其作为条件之一,提出与原来问题有关的新问题,我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.
例如,原来问题是“若正四棱锥底面边长为4,侧棱长为3,求该正四棱锥的体积”.求出体积16后,它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4,体积为16,求侧棱长”；
33也可以是“若正四棱锥的体积为16,求所有侧面面积之和的最小值”.
3 现有正确命题:过点A(?p2,0)的直线交抛物线C:y?2px(p?0)2于P,Q两点,设点P关
于x轴的对称点为R,则直线RQ必过焦点F.
试给出上述命题的“逆向”问题,并解答你所给出的“逆向”问题.
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