∴cosα=即有tanα=
=， =4
，
则tan2α===﹣；
（Ⅱ）由0＜β＜α＜又sin（α﹣β）=
，得0＜α﹣β＜，则cos（α﹣β）=
，
=
，
则cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β） =
+
，
=，
由于0＜β＜故有
．
点评：本题考查三角函数的求值，考查同角公式、二倍角公式和两角和差公式及运用，考查运算能力，注意角的变换，属于中档题．
16．设p：函数f（x）=lg（x+ax+1）的定义域为R；q：函数f（x）=x﹣2ax﹣1在（﹣∞，﹣1]上单调递减．
（1）若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围； （2）若关于x的不等式（x﹣m）（x﹣m+5）＜0（m∈R）的解集为M；p为真时，a的取值集合为N．当M∪N=M时，求实数m的取值范围．
考点：复合的真假． 专题：简易逻辑． 分析：（1）先分别求出p真，q真时的x的范围，再通过讨论p真q假或p假q真的情况，从而求出a的范围；（2）根据M、N的关系，得到不等式组，解出即可． 解答： 解：（1）若p真：即函数f（x）的定义域为R 2
∴x+ax+1＞0对?x∈R恒成立，
2
∴△=a﹣4＜0，解得：﹣2＜a＜2， 若q真，则a≥﹣1，
∵“p∨q”为真，“p∧q”为假∴p真q假或p假q真
22
∵或，解得：﹣2＜a＜﹣1或a≥2．
（2）∵M∪N=M∴N?M， ∵M=（m﹣5，m），N=（﹣2，2） ∴
，解得：2≤m≤3．
点评：本题考查了集合之间的关系，考查复合的性质，本题是一道中档题．
17．已知函数f（x）=sinx﹣2sinxcosx+3cosx． （1）求函数f（x）的最小正周期； （2）当（3）当x∈（﹣
，﹣
时，求函数f（x）的值域；
）时，设经过函数f（x）图象上任意不同两点的直线的斜率为
2
2
k，试判断k值的符号，并证明你的结论．
考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象． 专题：三角函数的图像与性质；直线与圆．
分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=﹣+2，利用周期公式即可求得函数f（x）的最小正周期； （2）由
，可得
sin（2x﹣）
，由正弦函数的图象和性质可求
，从而可得函数f（x）的值域；
（3）由可知f（x）在
，可得
，由正弦函数的图象
上是减函数，可得经过任意两点（x1，f（x1））和（x2，
f（x2））的直线的斜率k=解答： （本题满分为15分）
＜0．
解：f（x）=sinx﹣2sinxcosx+3cosx=cos2x﹣sin2x+2=﹣（或
（1）T=π； … （2）∵
∴f（x）的值域为（3）k值的符号为负号； ∵∴f（x）在∴当
，∴
上是减函数．… 时，∴
… ）；…
22
sin（2x﹣）+2，
，则
，
，且x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），
从而经过任意两点（x1，f（x1））和（x2，f（x2））的直线的斜率k=
＜
0． …
点评：本题考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质，直线的斜率公式的应用，属于基本知识的考查．
18．如图，折叠矩形纸片ABCD，使A点落在边BC上的E处，折痕的两端点M、N分别在线段AB和AD上（不与端点重合）．已知AB=2，BC=
，设∠AMN=θ．
（1）用θ表示线段AM的长度，并求出θ的取值范围；
（2）试问折痕MN的长度是否存在最小值，若存在，求出此时cosθ的值；若不存在，请说明理由．
考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 专题：导数的综合应用．
分析：（1）先设出AM，结合图象的对称性得到方程cos（x﹣2θ）=据AM、AB、AN、AD的关系得到不等式组，解出即可； （2）先求出MN，通过换元得到
，设
，解出即可，再根
，通过求导得到函数的单调性，从而求出MN的最小
值．
解答： 解：（1）设AM=x，由图形的对称性可知：AM=ME=x，∠BME=π﹣2θ， ∵BM=2﹣x，∴cos（x﹣2θ）=
，整理得：x=
=
，
∵又∵，即，
∴，，解得：；
（2）在Rt△AMN中，，，
令，
∴，
设
∴h′（t）=1﹣3t=﹣3（t+令h′（t）=0，则t=列表得： t h′（t） h（t）
+ 增
）=
，
2
，
）（t﹣
），
或t=﹣（舍），
（﹣
减
，）
0
极大值
∴h（t）max=h（∴当cosθ=
时，MN有最小值为．
点评：本题考查了三角函数问题，考查导数的应用，考查转化思想，换元思想，是一道中档题．
19．（16分）已知圆O：x+y=r（r＞0），与y轴交于M、N两点且M在N的上方．若直线y=2x+与圆O相切． （1）求实数r的值；
（2）若动点P满足PM=PN，求△PMN面积的最大值． （3）设圆O上相异两点A、B满足直线MA、MB的斜率之积为
．试探究直线AB是否
2
2
2
经过定点，若经过，请求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．
考点：直线和圆的方程的应用；圆的切线方程． 专题：直线与圆． 分析：（1）由直线和圆相切的条件：d=r，计算即可得到r=1； （2）设点P（x，y），运用两点的距离公式，化简整理可得P的轨迹为圆，可得点P到y轴的距离最大值为，再由三角形的面积公式可得最大值； （3）设A（x1，y1），B（x2，y2），讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，运用直线的斜率公式计算即可得到m的值，进而判断直线AB是否经过定点． 解答： 解：（1）∵直线y=2x+与圆O相切，
∴圆心O（0，0）到直线2x﹣y+=0的距离为d==1
