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第七讲 全等三角形问题中常见的辅助线的作法
【三角形辅助线做法】
图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。、 常见辅助线的作法有以下几种：
最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1. 等腰三角形“三线合一”法：
遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．
2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模
式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．
3.角平分线在三种添辅助线遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角
平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。
4.垂直平分线联结线段两端
已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。
A D F 5.用“截长法”或“补短法”：
特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到 原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．
B E
C 小试身手1、如图，已知AB∥CD，AD∥BC，E.F是BD 上两点，且BF＝DE，则图中共有 对 全等三角形.
2、如图，AB∥CD，AD∥BC，OE=OF,图中全等三角形共有______对.
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3、两三角形有以下元素对应相等，不能判定全等的是（ ） A. 两角和一边 B. 两边及夹角 C. 三个角 D. 三条边
4、如果两个三角形两边对应相等，且其中一边所对的角也相等，那么这两个三角形（ ）
A. 一定全等 B. 一定不全等 C. 不一定全等 D. 面积相等
5、如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（ ） A. 相等 B. 不相等 C. 互余或相等 D. 互补或相等 6、如图在?ABC中，?C?90?，AC=BC，AD平分?CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB=6cm 则?DEB的周长是（ ） CA. 6cm B. 7cm DC. 8cm D. 9 cm 一、倍长中线（线段）造全等 AEB例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3 ，则中线AD的取值范围是_________.
BDAC例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.
应用：如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.
AAEFBDCBDEC
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二、截长补短
1、如图，?ABC中，AB=2AC，AD平分?BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC
A
0CBD 2、如图，已知在?ABC内，?BAC?60，?C?400，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是?BAC，?ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP
BA
CPQ3、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC
应用：如图，若AB∥CD, BC=AB+CD, E是AD的中点 求证：（1）BE⊥CE
（2）BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD
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BPC12AD 4 / 6
三、借助角平分线造全等
1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O， 求证：OE=OD 应用：
1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为
对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠
BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系； （2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，
请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，
B 请说明理由。
B M
E E D F F D
P O
C A
A N C 图① 图③ 图②
(第23题图)
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BDCEOA
