概率论与数理统计A卷 共5页 第1页
2012－2013学年 第1学期 概率论与数理统计A卷
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）.
1．事件A,B独立，若P(A)?0.4,P(A?B)?0.7，则P(B|A)等于
（A）0.7； （B）0.6； （C）0.5； （D）0.4.
12???10?，则概率P{X?1}等于 2. 已知随机变量X的分布律为?1351?????2c4c8c8c?（A）14； （B）25； （C）12； （D）58.
123．已知随机变量X1,X2相互独立，且分布律为P{Xi?0}?,P{Xi?1}?,i?1,2,
33则下列选项正确的是
（A）X1?X2； （B）P{X1?X2}?1；
（C）P{X1?X2}?59； （D）P{X1?X2}?0.
4．设X1,X2是任意两个连续型随机变量，它们的概率密度函数分别为f1(x),f2(x)，分布函数分别为F1(x),F2(x)，则有
12（A）f1(x)?f2(x)必为某一随机变量的概率密度函数；
33 （B）f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度函数； （C）F1(x)?F2(x)必为某一随机变量的分布函数；
（D）F1(x)?F2(x)必为某一随机变量的分布函数.
1n5. 设X1,X2,?,Xn是来自正态总体N(?,?)的简单随机样本. 记X??Xi,
ni?121nS?(Xi?X)2, 则下列选项不正确的是 ?n?1i?12(n?1)S2X?μ2?χ(n?1)（A）； （B）?t(n)； σ2Sn1nX?μ（C）2?(Xi?μ)2?χ2(n)； （D）?N(0,1).
σi?1σn
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）.
?ae?3x,x?06. 已知随机变量X的概率密度函数为f(x)??，则系数a= .
x?0?0,?2,0?x?1,0?y?x7. 二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)??，则
其它?0,EX= .
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8. 设随机变量X,Y相互独立，且X服从区间(0,6)上的均匀分布,Y服从二项分布
b(10,0.2),令Z?X?Y，则DZ= . 9．某化肥厂用自动打包机包装化肥．现从此化肥厂生产的一批化肥中随机抽取16袋，测其重量（单位：千克）,得样本均值x?50.25，样本标准差s?8.00，设每包化肥的质量服从正态分布N(μ,σ2),其中μ,σ2都为未知参数.则μ的置信度为95%的置信区间为___________________（结果保留到小数点后面两位）. （备用数据：t0.025(16)?2.1199，t0.025(15)?2.1315，t0.05(15)?1.7531）
10. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3米.现从这批木柱中随机地
取出100根，根据中心极限定理，其中至少有30根短于3米的概率近似为 . （备用数据?(1)?0.8413,?(1.5)?0.9332,?(2.5)?0.9938） 三、解答题（本大题共6小题，每小题10分，共60分）. 11．某发报台以0.6和0.4的概率分别发出信号“?”和“-”，由于电波受干扰，发“?”时，收报台分别为以0.8和0.2的概率收到“?”和“-”，而发“-”时，收报台分别为以0.9和0.1的概率收到“-”和“?”，求当收到信号“?”时，发报台确实发出信号“?”的概率.
12．已知随机变量X的概率密度函数为
?x,0?x?1?1?f(x)??2,1?x?2 ,
?x其它??0,求：（1）P{12?X?32}；（2）E(X2).
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13.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为
?f(x,y)??3?,x2?y?1?4，
?0,其它（1）求概率P{X?Y}； （2）分别求出(X,Y)关于X,Y的边缘概率密度函数fX(x),fY(y)，并判断X,Y是
否独立.
14．已知连续型随机变量X的分布函数为
??0,x?0F(x)???3?4x,0?x?1，
??A?Bx,1?x?4??1,其它（1）确定常系数A,B；（2）求P{14?X?94}；（3）求X的概率密度函数f(x).
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密封区域
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15. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为 X ?1 0 1 Y ?1 a 0 0.1 0 0.1 b 0.2
1 0 0.1 c 其中a,b,c为常数，已知X的数学期望EX?0.2,条件概率P{X?0|Y?0}?0.5. 求：（1）a,b,c的值；（2）协方差Cov(X,Y).
16．设总体X的概率密度函数为
??f(x)???x??1,x?1, ??0,x?1其中?(??1)是未知参数. 若X1,X2,?,Xn是来自该总体的一个容量为n的简单样本，求?的最大似然估计量??.
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四、证明题（本大题共1个小题，5分）. 17．若连续型随机变量X的分布函数F(x)严格单调递增，设Y?F(X), 证明:
Y服从区间(0,1)上的均匀分布.
五、应用题（本大题共1个小题，5分）.
18. 某工厂由自动生产线加工某种零件，设零件的内径X（单位：毫米）服
从正态分布N(?,1)，内径小于10或大于12的为不合格品，其余为合格品.每个合
格品以高于成本价20元的价格销售，内径小于10的不合格品以成本价销售，内径大于12的不合格品则以低于成本价5元的价格销售.问：?取何值时，销售一个零件的平均利润最大（结果保留到小数点后两位）.（备用数据ln1.25?0.223）
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