3x－3－x
④f(x)＝2的定义域为R， 3－x－3x3x－3－x
又f(－x)＝2＝－2＝－f(x)， 则f(x)为奇函数；
1－x1－x⑤由>0得－1 1＋x1＋x?1－x?1＋x1－x??1－又f(－x)＝ln＝ln?＝－ln＝－f(x)， ?1＋x1－x1＋x??则f(x)为奇函数． 答案 D 判断函数的奇偶性的一般方法是：(1)求函数的定义域；(2)证明f(－x) ＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立；或者通过举反例证明以上两式不成立．如果二者皆未做到是不能下任何结论的，切忌主观臆断． 【训练1】 判断下列函数的奇偶性： 4－x2(1)f(x)＝； |x＋3|－3(2)f(x)＝x2－|x－a|＋2. ?4－x2≥0， 解 (1)解不等式组? ?|x＋3|－3≠0，得－2≤x<0，或0 因此函数f(x)的定义域是[－2,0)∪(0,2]， 4－x2 则f(x)＝x. 4－?－x?24－x2 f(－x)＝＝－x＝－f(x)， －x所以f(x)是奇函数． (2)f(x)的定义域是(－∞，＋∞)． 当a＝0时，f(x)＝x2－|x|＋2， f(－x)＝x2－|－x|＋2＝x2－|x|＋2＝f(x)． 因此f(x)是偶函数； 当a≠0时，f(a)＝a2＋2， f(－a)＝a2－|2a|＋2， f(－a)≠f(a)，且f(－a)≠－f(a)． 因此f(x)既不是偶函数也不是奇函数． 考向二 函数奇偶性的应用 1??1 【例2】?已知f(x)＝x?2x－1＋2?(x≠0)． ??(1)判断f(x)的奇偶性；(2)证明：f(x)＞0. [审题视点] (1)用定义判断或用特值法否定；(2)由奇偶性知只须求对称区间上的函数值大于0. (1)解 法一 f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞) 1?x2x＋1?1 ∵f(x)＝x?2x－1＋2?＝2·x. 2－1??－x2－x＋1x2x＋1 ∴f(－x)＝2·－x＝·＝f(x)． 2－122x－1故f(x)是偶函数． 法二 f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)， 33 ∵f(1)＝2，f(－1)＝2，∴f(x)不是奇函数． 1??11??1 ∵f(x)－f(－x)＝x?2x－1＋2?＋x?2－x－1＋2? ???? x2x??1??1－2 ＋1?＝x(－1＋1)＝0， ＝x?2x－1＋1－2x＋1?＝x?x ???2－1? ∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数． (2)证明 当x＞0时，2x＞1,2x－1＞0， 1??1 所以f(x)＝x?2x－1＋2?＞0. ?? 当x＜0时，－x＞0，所以f(－x)＞0，又f(x)是偶函数， ∴f(－x)＝f(x)，所以f(x)＞0. 综上，均有f(x)＞0. 根据函数的奇偶性，讨论函数的单调区间是常用的方法．奇函数在对 称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究，只需研究对称区间上的单调性即可． 【训练2】 已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f(1－m)＋f(1－m2)＜0的实数m的取值范围． 解 ∵f(x)的定义域为[－2,2]， ?－2≤1－m≤2，∴有? 2 ?－2≤1－m≤2，解得－1≤m≤3.① 又f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减， ∴在[－2,2]上递减， ∴f(1－m)＜－f(1－m2)＝f(m2－1)?1－m＞m2－1， 即－2＜m＜1.② 综合①②可知，－1≤m＜1. 考向三 函数的奇偶性与周期性 【例3】?已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1， (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式； (3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值． [审题视点] (1)只需证明f(x＋T)＝f(x)，即可说明f(x)为周期函数； (2)由f(x)在[0,1]上的解析式及f(x)图象关于x＝1对称求得f(x)在[1,2]上的解析式； (3)由周期性求和的值． (1)证明 函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的图象关于x＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数． (2)解 当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]， 又f(x)的图象关于x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1,2]． (3)解 ∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0， f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1 又f(x)是以4为周期的周期函数． ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013) ＝f(2 012)＋f(2 013)＝f(0)＋f(1)＝1. 判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数， 且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题． 【训练3】 已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 013)＋f(2 015)的值为( )． A．－1 B．1 C．0 D．无法计算 解析 由题意，得g(－x)＝f(－x－1)， 又∵f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)， ∴f(x－1)＝－f(x＋1)， ∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)， ∴f(x)的周期为4， ∴f(2 013)＝f(1)，f(2 015)＝f(3)＝f(－1)， 又∵f(1)＝f(－1)＝g(0)＝0， ∴f(2 013)＋f(2 015)＝0. 答案 C 规范解答3——如何解决奇偶性、单调性、周期性的交汇问题
