第3讲 函数的奇偶性与周期性
【2014年高考会这样考】 1．判断函数的奇偶性．
2．利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值． 3．考查函数的单调性与奇偶性的综合应用． 【复习指导】
本讲复习时应结合具体实例和函数的图象，理解函数的奇偶性、周期性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能．重点解决综合利用函数的性质解决有关问题．
基础梳理
1．奇、偶函数的概念
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称． 2．奇、偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． (2)在公共定义域内
①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积都是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数． 3．周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
一条规律
奇、偶函数的定义域关于原点对称．
函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件． 两个性质
(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上： 奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 三种方法
判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法． 三条结论
(1)若对于R上的任意的x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，则：y＝f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数． (3)若f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝其中一个周期为T＝2a；
(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2|a－b|.
双基自测
?5?
1．(2011·全国)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f?－2?
??＝( )．
1111A.－2 B.－4 C.4 D.2
11或f(x＋a)＝－，那么函数f(x)是周期函数，f?x?f?x?1?5??5??1?解析 因为f(x)是周期为2的奇函数，所以f?－2?＝－f?2?＝－f?2?＝－2.故选A.
??????答案 A
1
2．(2012·福州一中月考)f(x)＝x－x的图象关于( )． A．y轴对称 C．坐标原点对称
B．直线y＝－x对称 D．直线y＝x对称
?1?
－(－x)＝－?x－x?＝
??－x1
解析 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数，图象关于原点对称． 答案 C
3．(2011·广东)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )．
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数 B．f(x)－|g(x)|是奇函数 C．|f(x)|＋g(x)是偶函数 D．|f(x)|－g(x)是奇函数
解析 由题意知f(x)与|g(x)|均为偶函数，A项：偶＋偶＝偶；B项：偶－偶＝偶，B错；C项与D项：分别为偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇均不恒成立，故选A. 答案 A
4．(2011·福建)对于函数f(x)＝asin x＋bx＋c(其中，a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是( )． A．4和6 C．2和4
B．3和1 D．1和2
解析 ∵f(1)＝asin 1＋b＋c，f(－1)＝－asin 1－b＋c且c∈Z，∴f(1)＋f(－1)＝2c是偶数，只有D项中两数和为奇数，故不可能是D. 答案 D
5．(2011·浙江)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.
解析 法一 ∵f(－x)＝f(x)对于x∈R恒成立，∴|－x＋a|＝|x＋a|对于x∈R恒成
立，两边平方整理得ax＝0对于x∈R恒成立，故a＝0. 法二 由f(－1)＝f(1)， 得|a－1|＝|a＋1|，得a＝0. 答案0
考向一 判断函数的奇偶性
【例1】?下列函数： ①f(x)＝ ⑤f(x)＝lg
1－x2＋
－xx
3－3
x2－1；②f(x)＝x3－x；③f(x)＝ln(x＋x2＋1)；④f(x)＝2；
1－x
.其中奇函数的个数是( )． 1＋x
A．2 B．3 C．4 D．5 [审题视点] 利用函数奇偶性的定义判断． 解析 ①f(x)＝则f(x)＝
1－x2＋
x2－1的定义域为{－1,1}，又f(－x)＝±f(x)＝0，
1－x2＋x2－1是奇函数，也是偶函数；
②f(x)＝x3－x的定义域为R，
又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－(x3－x)＝－f(x)， 则f(x)＝x3－x是奇函数； ③由x＋
x2＋1>x＋|x|≥0知f(x)＝ln(x＋
?－x?2＋1)＝ln
1x＋
x＋1
2
x2＋1)的定义域为R， ＝
又f(－x)＝ln(－x＋－ln(x＋
x2＋1)＝－f(x)，
则f(x)为奇函数；
