第七章 空间解析几何与向量代数
向量是解决工程技术问题的重要工具，空间直角坐标系是研究向量和多元函数的基础。本章在建立了空间直角坐标系的基础上研究向量的概念、运算及其应用，并以向量为工具来讨论空间的直线和平面，最后介绍空间曲线的几种特殊的二次曲面。
§7.1 空间直角坐标系与向量的概念
在平面直角坐标系内，我们将平面上的任意点P与有序实数对(x,y)建立起一一对应关系，由此将平面曲线与方程建立了一一对应关系。为建立空间图形与方程的联系，我们需要建立空间的点与有序数组间的一一对应关系，这种对应关系可以通过建立空间直角坐标系来实现。
一 空间直角坐标系
1 空间直角坐标系的建立
在空间，任取一点O,经过点O作三条相互垂直的直线，它们都以O为原点，一般具有相同的单位长度；分别取它们的正向，使它们成为三条数轴分别称为x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称为坐标轴。三个坐标轴正向一般构成右手系，即伸开右手，让拇指和四指垂直，当右手四指从x轴正向以逆时针旋转90°角转向y轴正向是，大拇指的指向就是z轴的正向（如图7-1）。这样就构成了空间直角坐标系，点O称为坐标原点。
在空间直角坐标系中，任意两条坐标轴所确定的平面称为坐标面。例如：由x轴、y轴确定的坐标平面为xOy平面，同理还有yOz平面、xOz平面。
三个坐标面把空间分为八个部分，每一部分叫做一个卦限，由上到下，按逆时针方向可分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示。
2 空间上点的坐标 设M为空间上一点，过点M分别作x轴，y轴，z轴的垂线，垂足依次为P，Q ，R(如图7-2),这三点在x轴、y轴、z轴上的坐标依次为x，y，z，则空间上的一点M就唯一确定了一个有序数组(x,y,z)；反之，若给定一组有序数组x，y，z，且它们分别在x轴，
y轴，z轴上依次对应P，Q ，R 点，过P，Q ，R 分别作平面垂直于所在坐标轴，则这
三个平面的交点就是有序数组(x,y,z)所确定的唯一点M .
这样，空间一点就与一个有序数组(x,y,z)之间建立了一一对应关系，有序数组
(x,y,z)称为点M的坐标，记为M(x,y,z)。
x，y，z分别称为点M的横坐标，纵坐标和竖坐标。
显然，原点O的坐标为(0,0,0)，坐标轴上的点至少有两个坐标为0，坐标面上的点至少有一个坐标为0.例如：在x轴上的点均有y?z?0；在xOy平面上均有z?0。
3 空间两点间的距离公式
设空间两点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),求它们之间的距离
M1M2,则
1
222d=M1M2=(x2?x1)?(y2?y1)?(z2?z1)
x2?y2?z2特别地，点M(x,y,z) 到原点O(0,0,0)的距离d=OM=
例1 求顶点为A(2,5,0),B(11,3,8),C(5,1,11)的三角形各边的长度。
解：由空间两点间的距离公式知：
222 AB=(2?11)?(5?3)?(0?8)=149
BC=(11?5)2?(3?1)2?(8?11)2= 7 AC=(2?5)2?(5?1)2?(0?11)2=146
二 向量概念及其线性运算 1.向量的概念
在自然科学和工程技术中经常遇到两类量：一类是只有大小的量。例如时间、质量、长度、面积等，这类量称为数量（或标量）；另一类是既有大小又有方向的量，如力、速度、加速度、位移等，这类量称为向量（或矢量）。
在数学上，常用有向线段表示向量，有向线段的长度为向量的大小，有向线段的方向为向量的方向，以A为起点，B为终点的有向线段可表示为向量AB,也可以用黑体小写字母a，
b，c表示（如图所示）
向量的大小称为向量的模，记作a（或AB）；模为1的向量称为单位向量， 模为0的向量称为零向量，记作0，规定其方向为任意的。
数学中，一般只关心向量的大小和方向，不关心其位置，
B
A
即若两个向量a和b的模相等，方向相同，则称这两个向量相等，记作a=b，也就是说，经过平行移动后能够完全复合的向量是相等的，我们称这样的向量为自由向量，本书所讨论的向量均为自由向量。
我们规定：一切零向量都相等。 2.向量的线性运算 （1） 向量的加法：
定义1 设已知两个向量a，b，以空间任意一点O为始点作OA=a，OB=b,以OA,OB
为边作平行四边形OACB,则从始点到对角顶点的向量OC 为向量a与b的和向量。
这种求向量的方法称为向量加法的平行四边形法则。
2
A a a C a+b O b b
B
求向量的和还有另一种方法，由于向量可以平移，从空间一点O引向量OB=b，从b的终点B引向量BC=a，则OC=a+b，这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则。
C
a+b O
a
b
B
三角形法则可以推广到任意有限个向量相加的情况。
向量加法运算律
1） 交换律 a+b=b+a
2） 结合律 （a+b）+c=a+(b+c) (2)数乘向量
定义2 设a是向量，?为一实数，则a与?的乘积仍是一个向量，且
1）
?a???a;
???与a??0?同向，?2) ?a的方向??
与a反向，??0? 3
3） 当?=0或a=0时，规定?a=0.
????数乘向量的运算律（?、?为实数）
交换律 ?a=a?
结合律 ?(?a)=(??)a=?(?a)
??????????分配律 (???)a=?a+?a ?（ a+b）=?a+?b
向量的加法及数乘向量统称为向量的线性运算.
（3）向量的减法
定义3 若向量a与b，长度相等，方向相反，称b为a的负向量，记为 -a，由向量与数乘向量知，-a=（-）a
引入负向量后，我们可以规定两向量的减法，即a与b的差规定为a-b=a+（-）b
向量的减法可按三角形法则进行，对已知向量a、b，从任意点O为始点，作
OA=a,OB=b，则OB的终点B到OA的终点A的向量BA=a-b
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向量的坐标表示
（1） 向径及其坐标表示
在空间直角坐标系中，起点在原点O,终点为P的向量OP,称为点P的向径，记作r或OP。
沿x轴，y轴，z轴正向分别取正向同向的单位向量称为基本向量，分别记i，j，k。
设向量a的起点在坐标原点O,终点为P(x,y,z)，则向量OA=xi，OB=yj，
OC=zk，由向量加法， =OP?+P?P=（OA+OB）+OC=xi+yj+zk，
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