所以y?4my?4b?0的两根为y1、y2。
2??16(m2?b)?0，y1?y2?4m，所以x1?x2?my1?b?my2?b?4m2?2b，
所以线段AB的中点M(2m?b,2m) ……7分
2因为kAB?kCM??1，kAB?1 m所以kCM?2m??m，得b?3?2m2 22m?b?522所以??16(m?b)?16(3?m)?0，得0?m?3
2因为4?r?|5?b|1?m2?21?m2，所以m2?3（舍去）
综上所述，直线l的方程为：x?1，x?9 ……9分 （3）设直线AB:x?my?b，
?x?my?bA(x1,y1)、B(x2,y2)的坐标满足方程组?2，
?y?4x所以y?4my?4b?0的两根为y1、y2。
2??16(m2?b)?0，y1?y2?4m，y1y2??4b
2uuuruuury12y2??y1y2?b2?4b?0，得b?0或b?4 ……12分 所以OA?OB?x1x2?y1y2?44b?0时，直线AB过原点，所以Q(0,0)； ……13分 b?4时，直线AB过定点P(4,0)。
uuuruuur22设Q(x,y)，因为OQ?AB，所以OQ?PQ?(x,y)?(x?4,y)?x?4x?y?0（x?0），
……15分
综上，点Q的轨迹方程为x?4x?y?0。 ……16分
22
21．（本题满分18分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）
解：（1）x=1时，??1?y?2，所以y=2或3；
1?7?2y?x=2时，??1?y?4，所以y=4；
?2?7?2y?1?y?2x无整数解。
?x?7?2yx?3时，??x?1?x?1?x?2所以所有可能的x，y为?，?或?
y?3y?2y?4???
（2）n的最大值为65，理由如下
…… 3分
…… 4分
一方面，注意到：ak?1?ak?1?2ak?ak?1?ak?ak?ak?1
对任意的1?i?n?1，令bi?ai?1?ai，则bi?Z且bk?bk?（，故bk?bk?1?112?k?n?1）对任意的2?k?n?1恒成立． （★）
当a1?1，an?2017时，注意到b1?a2?a1?1?1?0，得
bi?(bi?bi?1)?(bi?1?bi?2)?????(b2?b1)?b1?11?1?42L4?31?0?i?1（2?i?n?1）
i?1个即bi?i?1，此时
an?a1?(an?an?1)?(an?1?an?2)?L?(a2?a1) （★★） 1?b1?b2?????bn?1?0?1?2?????(n?2)?(n?1)(n?2)2即
1(n?1)(n?2)?2017?1，解得：?62?n?65，故n?65 …… 7分 2另一方面，为使（**）取到等号，所以取bi?i?1（1?i?64），则对任意的2?k?64，
bk?bk?1，故数列{an}为“U?数列”，
此时由（★★）式得a65?a1?0?1?2?????63?63?642?2016， 所以a65?2017，即n?65符合题意．
综上，n的最大值为65．
（3）M的最小值为n20?2n0?88，证明如下：
当n0?2m（m?2，m?N*）时， 一方面：由（★）式，bk?1?bk?1，
bm?k?bk?(bm?k?bm?k?1)?(bm?k?1?bm?k?2)?????(bk?1?bk)?m．
此时有：
(a1?a2m)?(am?am?1)?(a2m?am?1)?(am?a1)?(bm?1?bm?2?????b2m?1)?(b1?b2?????bm?1)?(b
m?1?b1)?(bm?2?b2)?????(b2m?1?bm?1)?m?m?????m?m(m?1)即
(a1?a2m)?(am?am?1)?m(m?1)
故M?a1?a2mam?am?1?m(m?2?1)2?1?1?m(m?1)2 1?1?n0(n0?因为m?n0221)n2?2n0?82，所以M?2?08………… 15分 ……… 9分
……… 10分
另一方面，当b1?1?m，b2?2?m，…，bm?1??1，bm?0，bm?1?1，
b2m?1?m?1时，ak?1?ak?1?2ak?(ak?1?ak)?(ak?ak?1)?bk?bk?1?1?0
取am?1，则am?1?1，a1?a2?a3?????am，am?1?am?2?????a2m，且
a?a(b11m?1?b2?????bm?1)?2m(m?1)?1
a?a12mm?1?(bm?1?bm?2?????b2m?1)?2m(m?1)?1
此时M?a1?a2m?12m(m?1)?1?n20?2n0?88． 综上，M的最小值为n20?2n0?88．
……18分
