?3?3的全体特征向量的一个极大无关组.
故：A的属于特征值?1??2?0的全体特征向量为
c1(?1,2,?1)T?c2(0,?1,1)T (c1,c2是不全为零的任意常数）
A的属于特征值?3?3的全体特征向量为
c(1,1,1)T (c?0为任意常数）
(2)令e1?(?16,26,?16)T，
3616,13?2??2?(?2Te1)e1?(0,?1,1)T?e2?(?12,0,12)T,e3?1(?13,26,13,?111)T?(?,0,)T,226?3??3?(12012)T
?1??6?2则Q?(e1,e2,e3)???6?1??6?1??3?1?为所求正交矩阵， ?31??3???diag(0,0,3),QTAQ??.
?1??6?2T(3)A?Q?Q???6?1??6?又(A??120121??1???3??06??1?????10??3??2??3???11???3??326013?1??6??111?1?? ??111???2?111??1???3?36333E)?(Q?QT?QQT)6?[Q(??E)QT]6?Q(??E)6QT 2222??3/2?6?3???T?Q??3/2?E. ?Q???2???3/2??6性质7.4 如果n阶矩阵A的各行元素之和均为a，则a一定是A的一个特征值，且
(1,1,?,1)T是A的属于特征值a的一个特征向量.
99
3、 利用最小多项式
例7.7 设n维线性空间V上的线性变换?满足?2???2?（这里?表示恒等映射），证明：
?可以对角化。
§2.3求矩阵的特征值与特征向量
求n阶矩阵A的特征值与特征向量的步骤
1) 求出A的特征特征多项式?E?A；
2) 解?E?A?0，便可求出A的所有不同的特征值?1,?2,?,?s(1?s?n)，设ai的重 数为ti(1?i?s)，t1?t2???ts?n；
3) 对每一个特征值?i(i?1,2,?,s)，解齐次线性方程组
(?iE?A)x?0 （7.1）
便可求出A的所有属于特征值?i的特征向量(i?1,2,?,s). 说明
① 如果设秩(?iE?A)?ri，则(7.1)的基础解系中含有n?ri?vi个解向量，它们是A的属于特征值?i的特征向量的极大无关组，如果设?i1,?i2,?,?ivi是(7.1)的一个基础解系，则A的属于特征值?i的全部特征向量为：
ci1?i1?ci2?i2???civi?ivi
这里ci1,ci2,?,civi是不全为零的任意常数（注意：书写解答时不能漏掉不全为零的条件）； ②vi?n?ri?ti(i?1,2,?,s)，即A的属于特征值?i的线性无关的特征向量的最大个数不大于?i的重数；
③ 要注意利用如下性质简化特征值的计算.
性质7.5 (1)设?1,?2,?,?n是n阶可逆矩阵A的全部特征根，则?1,?2,?,?n是n阶可逆矩阵A的全部特征值；
(2) 设?1,?2,?,?n是n阶矩阵A的全部特征值，f(x)是任意一个次数大于零的多项式，则f(?1),f(?2),?,f(?n)是n阶矩阵f(A)的全部特征根.
100
?1?1?1?1例7.8（89,8分）假设?是n阶可逆矩阵A的一个特征值，证明： (1)
1为A?1的特征值； ?A(2)
?为A的伴随矩阵A?特征值.
分析 若为选择题或填空题，直接利用性质6.1(1)便得(1)之结论.再由
A??AA?1，利用性质6.1(2)便得(2)之结论.但本题为解答题，因此需要给出证明.
证明 (1)1E?A?1?1A?1A?A?1?1A?1(A??E)??1A?1?E?A?0
????所以
1为A?1的特征值. ????(2) AE?A??AE?AA?1?A(E?A?1)?AnE?A?1?0，
?故：
A?为A特征值.
?2???12??例7.9（89,5分）设A?2?1?2 ????2?2?1??(1)求矩阵A的特征值；
(2)利用(1)，求E?A的特征值，其中E为3阶单位矩阵.
?1??1解 (1)?E?A??2?2?22?(??1)2(??5)，
??12?2??1故：A的特征值为?1??2?1,?3??5. (2)由(1)知A的特征值为1，1，?说明E?A?1?114?1，故：E?A的特征值为：2，2，. 55?f(A?1)，这里f(x)?1?x.
??3?12???例7.10（87,6分）求矩阵A?0?14的实特征值及对应的特征向量. ?????101????3解 ?E?A?1?2?4?(??1)(?2?4??5)，所以A的实特征值为??1， ??101??10 101
解齐次线性方程 (E?A)x?0 可得其基础解系为(0,2,1)，故A的属于特征值1的全体特征向量为
T((0,2,1)T?(0,2c,c)T(c为任意常数）.
说明 求特征向量时，解齐次线性方程组已不是主要任务，因此求解过程可在草稿纸上完成，书写时只需给出结论即可.
§2.4矩阵的特征值与特征向量的性质及其应用
性质7.6 设n阶方阵A的n个特征值为?1,?2,?,?n(A?(aij))，则 (1)?1??2????n?a11?a22???ann (2)?1?2??n?A.
说明 由(2)可得结论，n阶方阵A为可逆矩阵?A的所有特征值都不为零.
例7.11（90,6分）设?1,?2是n阶方阵A的两个不同的特征值，x1,x2分别是属于?1,?2的特征向量，证明：x1?x2不是A的特征向量.
证明：（用反证法）设x1?x2是A的属于特征值的?特征向量，则
A(x1?x2)??(x1?x2)，但A(x1?x2)?Ax1?Ax2??1x1??2x2，
所以?(x1?x2)??1x1??2x2，即(???1)x1?(???2)x2?0， 又x1,x2线性无关，所以?1????2，与?1??2矛盾， 故 x1?x2不是A的特征向量.
实对称矩阵的特征值与特征向量的性质如下 性质 7.7 (1) 实对称矩阵的特征值一定为实数；
(2) 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必正交.
例7.12（97,10分）设三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3；矩阵A的属于特征值1,2的特征向量分别?1?(?1,?1,1),?2?(1,?2,?1). (1)求A的属于特征值3的特征向量； (2)求矩阵A.
T解 (1)设?3?(x1,x2,x3)为A的属于特征值3的特征向量，则?3与?1,?2均正交，因
TT此
?x1?x2?x3?0 ??x1?2x2?x3?0
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