（2）把y?kx?5代入x2?3y2?3中消去y，整理得 (1?3k)x?30kx?78?0. 设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点是E(x0,y0)，则 x?x1?x2?0215k1?3k222?y0?kx0?5?51?3k2,kBE?y0?1x0??1k.
?x0?ky0?k?0,即
15k1?3k2?5k1?3k2?k?0,又k?0,?k2?7
故所求k=±7. 为了求出k的值, 需要通过消元, 想法设法建构k的方程.
例4 已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且∠F1PF2的最大值为90°，直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，△ABF2的面积最大值为12． （1）求椭圆C的离心率； （2）求椭圆C的方程．
讲解：（1）设|PF1|?r1,|PF2|?r2,|F1F2|?2c, 对?PF1F2, 由余弦定理, 得
cos?F1PF2?r1?r2?4c2r1r2122?(r1?r2)?2r1r2?4c2r1r222?4a?4c2r1r222?1?4a?4c2(r1?r22222?1?1?2e?0，
)2解出 e?22.
（2）考虑直线l的斜率的存在性，可分两种情况：
i) 当k存在时，设l的方程为y?k(x?c)??????① 椭圆方程为
xa22?yb22?1,A(x1,y1),B(x2,y2) 由e?22222. 得
a2?2c,b222?c.
于是椭圆方程可转化为 x?2y?2c?0??????② 将①代入②，消去y得 x2?2k2(x?c)2?2c2?0,
整理为x的一元二次方程，得 (1?2k2)x2?4ck2x?2c2(k2?1)?0. 则x1、x2是上述方程的两根．且|x2?x1|?AB边上的高h?|FF|sin?BFF?2c?1212121?k2222c1?k1?2k|k|, 21?k222，|AB|?1?k2|x?x|?22c(1?k)，
212也可这样求解：
S?121?2k|F1F2|?|y1?y2|
S?22c(1?2k)|k|1?k22c
?c?|k|?|x1?x2|
2 ?22c21?k|k|1?2k22?22ck?k2241?4k?4k?22c4214?1k?k42?2c.
2ii) 当k不存在时，把直线x??c代入椭圆方程得y??22c,|AB|?2c,S?122c?2c
2由①②知S的最大值为
2c 由题意得2c2=12 所以c2?62?b2 a2?122
x1222 故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为：
2?y262?1.
下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣：
设过左焦点的直线方程为：x?my?c????①
（这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.） 椭圆的方程为：x?y?1,A(x,y),B(x,y)
112222ab由e?22222.得：a?2c,b?c,于是椭圆方程可化为：x?2y?2c?0??②
222222把①代入②并整理得：(m2?2)y2?2mcy?c2?0
于是y1,y2是上述方程的两根.
|AB|?(x1?x2)?(y1?y2)?2c1?m2221?m|y2?y1|2?1?m24mc?4c(m?2)m?22222222c(1?m), ?2m?22AB边上的高h?,
222从而S?1|AB|h?1?22c(1?m)?22c1?m222m?2?22c21?m(m?2)?22c21m?1?21m?12??22c.2
当且仅当m=0取等号，即Smax?2c.
2由题意知2c2?12, 于是 b2?c2?62,a2?122. 故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为：
x122222?y262?1.
例5 已知直线y??x?1与椭圆
xa?yb22B两点，且线段AB的中点在直线l:x?2y?0?1(a?b?0)相交于A、
上.（１）求此椭圆的离心率；
（2 ）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点的在圆x2?y2?4上，求此椭圆的方程.
?y??x?1，?2讲解:（1）设A、B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).则由?x2 得 y?2?2?1b?a(a?b)x?2ax?a?ab2a222222222?,
根据韦达定理，得 x1?x2?a?ba2222,y1?y2??(x1?x2)?2?222b222a?b,
∴线段AB的中点坐标为（
a?b22,b2a?b）.
由已知得
a222a?b?2b2a?b?0,?a2?2b2?2(a?c)?a222?2c，故椭圆的离心率为e?222 .
（2）由（1）知b?c,从而椭圆的右焦点坐标为F(b,0), 设F(b,0)关于直线l:x?2y?0的对称点为
(x0,y0),则y0?01x0?by034???1且?2??0,解得 x0?b且y0?b
x0?b22255由已知得 x20?y20?4,?(b)?(b)?4,?b552232422?4，故所求的椭圆方程为
x28?y24?1 .
例6 已知⊙M：x?(y?2)?1,Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，
程.
（1）如果|AB|?423，求直线MQ的方程；（2）求动弦AB的中点P的轨迹方
讲解:（1）由|AB|?423，可得
|MP|?|MA|?(2|AB|2)2?1?(2223)2?13,由射影定理，得
|MB|?|MP|?|MQ|,得|MQ|?3, 在Rt△MOQ中，
|OQ|?2|MQ|?|MO|22?3?222?5，故a?5或a??5，
所以直线AB方程是2x?
5y?25?0或2x?5y?25?0;
（2）连接MB，MQ，设P(x,y),Q(a,0),由点M，P，Q在一直线上，得
22?a?y?2x,(*)
由射影定理得|MB|?|MP|?|MQ|,即x?(y?2)?222a?4?1,(**)
22把（*）及（**）消去a，并注意到y?2，可得x
?(y?74)?116(y?2).
适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙.
例7 如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC=点P在E上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变. （1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
22。DO⊥AB于O点，OA=OB，DO=2，曲线E过C点，动
（2）过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设
DMDN??，试确定实数?的取值范围．
讲解: （1）建立平面直角坐标系, 如图所示∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB |
C y=
22?2?(222)2?22∴动点P的轨迹是椭圆∵a?2,b?1,c?1∴曲
线E的方程是
x2A O B ?y22?1 .
（2）设直线L的方程为 y?kx?2, 代入曲线E的方程x2?2y2?2，得
(2k2?1)x?8kx?6?0设M1（x1,y1),2N(x2,y2), 则
????(8k)2?4(2k?1)?6?0,?8k?x?x??, ?1222k?1?6?xx?.?1222k?1?i) L与y轴重合时，??①
② ③
|DM||DN|?132
ii) L与y轴不重合时， 由①得 k?32. 又∵??DMDN?xD?xMxD?xN?x1x2,
∵x2?x1?0, 或 x2?x1?0,∴0＜?＜1 ,
∴
(x1?x2)x1?x22?x1x2?x2x1?2???1??2∵
(x?x2)x1?x22?64k6(2k22?1)?323(2?1k2
)而k2?32, ∴6?3(2?1k2)?8.∴ 4?323(2?1k2?)163, ∴ 4???1??2?163,
??0???1,?1110??2,? 2???,?????3?110????,??3??1?1????1.∴?的取值范围是
?3,1? . 3?? 值得读者注意的是，直线L与y轴重合的情况易于遗漏，应当引起警惕. 例8 直线l过抛物线y2?2px(p?0)的焦点，且与抛物线相交于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点.
（1）求证：4x1x2?p;（2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线.
2 讲解: （1）易求得抛物线的焦点F(P,0). 若l⊥x轴，则l的方程为x?P,显然xx?P.若l不垂直于x轴，可设y?k(x?P),
1222242222代入抛物线方程整理得x2?P(1?2P)x?P?0,则xx?P. 综上可知 4x1x2?p.
122k442222（2）设C(c,c),D(d,d)且c?d，则CD的垂直平分线l?的方程为y?c?d??c?d(x?c?d)
2p2p22p4p22假设l?过F，则0?c?d??c?d(p?c?d)整理得 (c?d)(2p2?c2?d2)?0 ?p?0
22p24p?2p?c?d222?0，?c?d?0. 这时l?的方程为y=0，从而l?与抛物线y2?2px只相交于原点. 而l与抛物线有两个不
同的交点，因此l?与l不重合，l不是CD的垂直平分线.
此题是课本题的深化，你能够找到它的原形吗？知识在记忆中积累，能力在联想中提升. 课本是高考试题的生长点，复课切忌忘掉课本！
例9 某工程要将直线公路l一侧的土石，通过公路上的两个道口A和B，沿着道路AP、BP运往公路另一侧的P处，PA=100m，讲解: 以直线l为x轴，线段AB的中点为原点对立直角坐标系，则在l一侧必存在经A到P和经B到P路程相等的点，设这
PB=150m，∠APB=60°，试说明怎样运土石最省工？
样的点为M，则|MA|+|AP|=|MB|+|BP|,即|MA|－|MB|=|BP|－|AP|=50,
2?|AB|?507,∴M在双曲线x?2y222525?6?1的右支上.
故曲线右侧的土石层经道口B沿BP运往P处，曲线左侧的土石层经道口A沿AP运往P处，按这种方法运土石最省工.
