1引言
随着时代的发展，数学也跟着时代步伐大迈步前进。其中，微积分的创立，也极大地推动了数学的发展。积分中值定理是作为微积分中的一个重要性质出现在数学分析课程中的，它在数学分析的学习过程占有很重要的地位，并且对于后续课程的学习也起着较大作用，在此我们就把积分中值定理及其应用清晰论述一下。
通常情况下，积分中值定理包含第一积分中值定理、第二积分中值定理。而在此我们既讨论了在特殊情况下的积分中值定理，即在一个区间上的情形。还讨论了在几何形体上二重、三重积分的情形的积分中值定理。并且这两个定理在各个方面的应用都较为广泛，比如物理学和数学。我们将积分中值定理加以应用，把微积分体系中比较基础的东西找出更为简单的解决方式：数学中一些定理的证明，数学定理、命题，几何应用，含定积分的极限应用，确定积分符号，比较积分大小，证明函数单调性，估计积分值。虽然有时第一积分中值定理在处理一些积分极限问题上显得很繁琐，但是我们任然可以把它当作一个基础定理，解决一些现实问题。
此外，在20世纪，国内外定在有关积分中值定理的“中间点”渐进性质研究就已经有很显著的成就。数学家们不但将较为简单的情况下（一个区间上）的情形论述第一、第二积分中值定理的渐进性质论述透彻，而且还加以推广，包括有定积分中值定理的逆问题及其逆问题的渐近性，第一曲线型积分渐近性，甚至还将积分线由有限改为无穷的情形，他们将已有的定积分中值定理渐进性推导出的结果更为一般化。
本课题的研究过程为：讨论和分析积分中值定理，然后将其加以推广，讨论各个积分中值定理中的中间点的渐进性质，最后论述了积分中值定理在各方面的应用问题。
课题研究的主要目标则是通过研究和分析积分中值定理、推广、渐进性，将各方面的应用如：估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号，比较积分大小，证明函数的单调性还有对阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明总结出积分中值定理并把其以论文的形式整理出来。
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2 积分中值定理的证明
2.1 定积分中值定理
引理：假设M和m分别为函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则有
m(b?a)??baf(x)dx?M(b?a),(a?b)
成立。
证明：因为M和m分别为函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，即
m?f(x)?M，我们对不等式进行积分可得
?由积分性质可知
bamdx??f(x)dx??Mdx，
aabbm(b?a)??baf(x)dx?M(b?a) （2－1）
成立，命题得证。
定理1（定积分中值定理）：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在区间[a,b]上至少存在一个点?，使下式
?成立。
baf(x)dx?f(?)(b?a),(a???b)
证明：由于b?a?0，将（2－1）同时除以b?a可得
m?1b?aba?b?a1baf(x)dx?M。
此式表明
?f(x)dx介于函数f(x)的最大值M和最小值m之间。
由闭区间上连续函数的介值定理，在闭区间[a,b]上至少存在一点?，使得函数f(x)在点?处的值与这个数相等，即应该有
1b?a?baf(x)dx?f(?)，
成立，将上式两端乘以b?a即可得到
?命题得证。
baf(x)dx?f(?)(b?a),(a???b)，
备注1：很显然，积分中值定理中公式
2
?baf(x)dx?f(?)(b?a) （?在a与b之间）
不论a?b或a?b都是成立的。
2.2 积分第一中值定理
定理2（第一积分中值定理）：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，g(x)在(a,b)上不变号，并且g(x)在[a,b]上是可积的，则在[a,b]上至少存在一点?，使得
?成立。
baf(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx,ab(a???b)
证明：由于g(x)在[a,b]上不变号，我们不妨假设g(x)?0，并且记f(x)在[a,b]上的最大值和最小值为M和m，即m?f(x)?M，将不等式两边同乘以g(x)可知，此时对于任意的x?[a,b]都有
mg(x)?f(x)g(x)?Mg(x)
成立。对上式在[a,b]上进行积分，可得
m?g(x)dx??f(x)g(x)dx?Maabb?bag(x)dx。
此时在m,M之间必存在数值?，使得m???M，即有
?成立。
baf(x)g(x)dx???g(x)dx
ab由于f(x)在区间[a,b]上是连续的，则在[a,b]上必定存在一点?，使f(?)??成立。此时即可得到
?命题得证。
baf(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx，
ab2.3 积分第二中值定理
定理3（积分第二中值定理）：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上可积，而g(x)在区间
(a,b)上单调，则在[a,b]上至少存在一点?，使下式成立
b?baf(x)g(x)dx?g(a)?f(x)dx?g(b)?f(x)dx （2-2）
a??特别地，如果g(x)在区间(a,b)上单调上升且g(a)?0 ，那么存在?，使下式成立
?baf(x)g(x)dx?g(b)?f(x)dx （2-3）
?b 3
如果g(x)在区间(a,b)上单调下降且g(b)?0，那么存在?，使下式成立
?baf(x)g(x)dx?g(a)?f(x)dx （2-4）
a?证明：由题设条件知f(x),g(x)在区间[a,b]上都是可积的，由积分性质可知f(x)?g(x)也是可积的。我们先证明（2-3）式，即在g(x)非负、且在区间(a,b)上单调上升的情形下加以证明。 对于（2-4）式证明是类似的，最后我们再将其推导到一般情形，即可证明（2-2）式。
在区间[a,b]上取一系列分点使a?x0?x1???xi?1?xi???xn?b，记?xi?xi?xi?1，其中?i为g(x)在?xi上的幅度，即?i?sup{g(x)}?inf{g(x)}，再将所讨论的积分作如下
[xi?xi?1][xi?xi?1]改变：将积分限等分为如下n等份，并且记
n??i?1xixi?1nf(x)[g(x)?g(xi)]dx??，?g(xi)?i?1xixi?1f(x)dx??。
则
?banf(x)g(x)dx??i?1n?xixi?1f(x)g(x)dx
nxixi?1??i?1g(xi)?xixi?1f(x)dx??i?1?f(x)[g(x)?g(xi)]dx????，
因为f(x)在[a,b]上可积，且区间[a,b]是有限的，所以f(x)在[a,b]上有界，此时我们不妨假设f(x)?L。
估计?如下：
n????i?1xixi?1f(x)[g(x)?g(xi)]dx
n ? ???i?1nxixi?1f(x)g(x)?g(xi)dxxixi?1
?i?1nf(xi)xixi?1?g(x)?g(xi)dxn
?L?i?1??idx?L??i?xi
i?1n由于g(x)可积，所以当??max?xi?0时，有??i?xi?0，从而有lim??0，从而
i?1??0可知
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