D．对任意x1,x2,x3,x4??1,3?，有f(【答案】AB
x1?x2?x3?x41)??f(x1)?f(x2)+f(x3)+f(x4)?
44【解析】根据题意，对各选项逐一作出正确的判断即可. 【详解】
?x2,1?x?3对于A选项，反例f(x)??，此函数满足性质P但不连续，故A错误；
?10,x?322对于B选项，f(x)??x具有该性质，但是f(x)??x不具有该性质，故B错误；
对于C选项，由性质P得，f(x)?f(4?x)?2f(2)?2，且f(x)?1，f(4?x)?1，故f(x)?1，故C正确；
x1?x2x3?x4+对于D选项，x1?x2+x3?x42)?1?f(x1?x2)?f(x3?x4)? f()=f(2?422?22??1??f(x1)?f(x2)?f(x3)?f(x4)?，故D正确. 4故选：AB 【点睛】
本题主要考查函数的概念，函数的性质，考查学生分析能力，推理判断能力，属于中档题.
三、填空题
13．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 【答案】16
【解析】首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果. 【详解】
33根据题意，没有女生入选有C4?4种选法，从6名学生中任意选3人有C6?20种选
法，
故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20?4?16种，故答案是16. 【点睛】
该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题
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还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.
14．已知a,b?R，且a?3b?6?0，则2?【答案】
a1的最小值为_____________. b81 4【解析】由题意首先求得a?3b的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件. 【详解】
由a?3b?6?0可知a?3b??6， 且：2?a1?2a?2?3b，因为对于任意x，2x?0恒成立， b8a?3b结合均值不等式的结论可得：2?21?2?2a?2?3b?2?2?6?.
4?2a?2?3b?a??3当且仅当?，即?时等号成立.
b?1??a?3b??6综上可得2?【点睛】
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
a11. 的最小值为
8b4x2y2x2y215．已知椭圆M：2?2?1(a?b?0)，双曲线N：2?2?1．若双曲线N的两
mnab条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________． 【答案】3?1 2
【解析】分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中m2,n2关系，即得双曲线N的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c?3c，再根据椭圆定义得c?3c?2a，解得椭圆M的离心率.
详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c?3c，再根据椭圆定义得
c?3c?2a，所以椭圆M的离心率为
c2??3?1. a1?3第 10 页 共 20 页
双曲线N的渐近线方程为y??nx，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为mm2?n2m2?3m2πn222π，?2?tan?3， ?e???4，?e?2. 22mm3m3点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a,b,c的方程或不等式，再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式，而建立关于a,b,c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 16．已知函数f?x??2sinx?sin2x，则f?x?的最小值是_____________． 【答案】?33 2【解析】分析：首先对函数进行求导，化简求得f'?x??4?cosx?1??cosx???1??，从2?而确定出函数的单调区间，减区间为?2k????5???,2k????k?Z?，增区间为33?????2k??,2k???k?Z?，确定出函数的最小值点，从而求得??33??sinx??33代入求得函数的最小值. ,sin2x??221??2f'x?2cosx?2cos2x?4cosx?2cosx?2?4cosx?1cosx????详解：???，所以
2??当cosx?11时函数单调减，当cosx?时函数单调增，从而得到函数的减区间为225????????2k??,2k??k?Z2k??,2k?????k?Z?，所以，函数的增区间为????33?33???当x?2k???3,k?Z时，函数f?x?取得最小值，此时sinx??33，,sin2x??22所以f?x?min?3?33333?2??????. ，故答案是???2?222??点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.
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四、解答题
17．已知数列?an?满足a1?1，an?1?4an?3n?1，bn?an?n. （1）证明：数列{bn}为等比数列； （2）求数列?an?的前n项和. 【答案】（1）见证明；（2）
2n114?1??n2?n ?322【解析】（1）利用等比数列的定义可以证明；
（2）由（1）可求bn的通项公式，结合bn?an?n可得an，结合通项公式公式特点选择分组求和法进行求和. 【详解】
证明：（1）∵bn?an?n，∴bn?1?an?1?n?1. 又∵an?1?4an?3n?1，
bn?1an?1?n?1?4an?3n?1??n?14?an?n?????4. ∴
bnan?nan?nan?n又∵b1?a1?1?1?1?2，
∴数列?bn?是首项为2，公比为4的等比数列.
n?1解：（2）由（1）求解知，bn?2?4，
n?1∴an?bn?n?2?4?n，
∴
Sn?a1?a2???an?2(1?4?4?L?4)?(1?2?3?L?n)??2n1214?1?n?n. ??3222n?12?1?4n?1?4n?n?1??2【点睛】
本题主要考查等比数列的证明和数列求和，一般地，数列求和时要根据数列通项公式的特征来选择合适的方法，侧重考查数学运算的核心素养. 18．已知
分别在射线
.
（不含端点）上运动，
，在
中，角
所对的边分别是
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