天津工业大学2008年“求实杯”高等数学竞赛试题
一、填空题.
x???2?16x??6?9x?xcosx?1?x??(1?)?? ； 1. 极限lim?x22x??????x?x?xsinx????2．曲线sin(xy)?ln(y?x)?2x在点A(0,1)处得切线方程为 ；
3．反常积分
???02008128x2(?)dx? ； x231?e(1?x)4．积分
?31dx?siny2dy? ；
x?125．若f(u,v)可微，z?sin(x?y)f(xy,yx)，则函数z在点(1,2)处得梯度为 . 二、选择题.
1．设函数f(x)在(??,??)内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是（ ） A. 若{f(xn)}收敛，则{xn}收敛 B. 若{xn}收敛，则{f(xn)}收敛 C. 若{xn}单调，则{f(xn)}收敛 D. 若{f(xn)}单调，则{xn}收敛 2．曲线x?u,y??u,z?u的所有切线中，与平面x?2y?z?4平行的有（ ） A. 2条 B. 1条 C. 0条 D. 3条 3．若函数f(x)在(??,??)内有定义，且x0是函数f(x)的极大值点，则（ ） A. 在(??,??)内恒有f(x)?f(x0) B. x0是f(x)的驻点
C. ?x0是函数?f(x)的极小值点 D. ?x0是函数?f(?x)的极小值点 4．设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且??y(x,y)?0，若(x0,y0)是f(x,y)在约束条件
23?(x,y)?0下的一个极值点，则下列选项中正确的的是（ ）
A．若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0 B. 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0 C. 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0 D. 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0 5．设D?{(x,y)x?2,y?2}，积分
??[xsin(bx)?ysin(by)?sin(x?y)]d??（ ）
DA. 为正 B. 为负 C. 为零 D. 与b的值有关
?g(x)?ex,x?0?三、设函数f(x)??，其中g??(x)连续，g(0)?1，g?(0)??1. x?0,x?0?(1) 计算f?(x); (2) 讨论f?(x)在x?(??,??)内的连续性.
四、设函数z?f(xy,ex)?yg(x?cosy)，其中f具有连续的二阶偏导数，g具有连续的
?z?2z?2z二阶导数. 计算，，2.
?x?x?y?x五、设曲线L:y??bx2?a(a?0,b?0)，求出a,b使得 （1）L与y?1?x相切；
（2）L与x轴所围成的图形绕Oy轴旋转一周所得的旋转体的体积最大. 六、计算二重积分I???sinxsinymax{x,y}dxdy.
Dx?[0,1]七、设函数f??(x)在[0,1]上连续，且f(0)?f(1)?0，f??(x)?0，minf(x)??1，证明：
maxf??(x)?8.
x?[0,1]八、设有函数f(x),g(x)，在x?(??,??)上f??(x)?0，在[0,a](a?0)上g(x)连续. 证
1a1a明：?f(g(t))dt?f(?g(t)dt).
a0a0九、计算极限：lim(ne?1)nn!.
n??十、在椭球面2x?2y?z?1上求一点，使函数f(x,y,z)?x?y?z在该点沿方向
222222???l?2i?k的方向导数最大.
十一、 设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且f(0)?0，f(1)?1，证明： （1） 存在u?(0,1)使f(u)?u?1；
（2） 存在互异的?,??(0,1)使f?(?)f?(?)?1.
十二、设函数z?f(x,y)在区域D?{(x,y)0?x?1,0?y?1}上有连续的混合偏导数，且
?2f?4，在D的边界上f(x,y),fx(x,y)取值为零，证明：??f(x,y)d??1. ?x?yD
