?? E(X)??kP{X?k}??kp(1?p)k?1，
k?1k?1令q?1?p，则
???E(X)??p??q?p???qk???p???2?k?1??1?q?(1?q)令
11p?X,得p的矩估计为p??X.
（2）p的极大似然估计：似然函数为
1p.
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nL(x1,x2,?,xn;p)?p(1?p)n?xi?ni?1，
取对数，得
nlnL(xp???1,x2,?,xn;p)?nln??xi?n?ln(1?i?1?，
再对p求导数，并令导数等于零，得
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?p),
ndlnL(x1,x2,?,xn;p)dp?npn???i?1xi?0，
1?p??解得 p1X.可见p的矩估计量和极大似然估
计量是相同的.
例4 已知总体X是离散型随机变量，X可能取值为0，1，2. 且P(X?2)?(1??)，
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2E(X)?2(1??)，其中?是未知参数.
（1）试求X的概率分布；（2）对X抽取容量为10的样本，其中5个取1，3个取2， 2取0，求?的矩估计值和极大似然估计值.
解 设X的概率分布为P(X?0)?p0，
P(X?1)?p1，P(X?2)?p2，
又 E(X)?2(1??)?0?p0?1?p1?2p2
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个
