(1)求椭圆的方程；
→
(2)是否存在经过点(0，－2)的直线l，使直线l与椭圆相交于不同的两点M，N满足|AM→
|＝|AN|？若存在，求直线l的倾斜角α；若不存在，请说明理由．
(2)由题意可设直线l的方程为y＝kx－2(k≠0)，由|AM|＝|AN|知点A在线段MN的垂直平分y＝kx－2，??22
线上，由?xy消去y得x2＋3(kx－2)2＝12，即可得方程(1＋3k2)x2－12kx＝0，()
??12＋4＝1
由k≠0得方程()的Δ＝(－12k)2＝144k2>0，即方程()有两个不相等的实数根．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点P(x0，y0)，则x1，x2是方程()的两个不等的实12k
根，故有x1＋x2＝. 1＋3k2x1＋x26k2－2?1＋3k2－26k
从而有x0＝＝，y＝kx－2＝＝. 0
21＋3k201＋3k21＋3k2
?6k，－2?.
于是，可得线段MN的中点P的坐标为???1＋3k21＋3k2?
－2
－21＋3k2－2－2?1＋3k2又由于k≠0，因此直线AP的斜率为k1＝＝.
6k6k1＋3k2－2－2?1＋3k233
由AP⊥MN，得×k＝－1，即2＋2＋6k2＝6，解得k＝±，即tanα＝±.又0≤α<π，
6k33π5ππ5π
故α＝或α＝.综上可知存在直线l满足题意，其倾斜角为α＝或α＝.
6666
【点评】 本题属于圆锥曲线与方程的经典类试题，首先求出圆锥曲线方程，然后再研究直线与圆锥曲线的位置关系．在直线与圆锥曲线位置关系的问题中，等价转化和设而不求是解决问题的一个重要指导思想，本题解答中使用的是等价转化的方法，实际上也可以根据
222
两点间距离公式得到点M，N的坐标满足的关系式，即x21＋(y1－2)＝x2＋(y2－2)，即(x1＋
x2)(x1－x2)＋(y1＋y2－4)(y1－y2)＝0，由于点M，N在直线上，y1＝kx1－2，y2＝kx2－2，代入(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2－4)(y1－y2)＝0，得(x1＋x2)(x1－x2)＋(kx1＋kx2－8)(kx1－kx2)＝0，直线斜率存在，则x1≠x2，所以(x1＋x2)＋k[k(x1＋x2)－8]＝0，然后根据韦达定理整体代入即可
求出k值．
【变式探究】如图所示，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，4
M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.
5
(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程； 4
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．
5
【规律技巧】
1．离心率的范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到关于a，c的不等式，由这个不等式确定a，c的关系．
p?p，0的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，2．抛物线y＝2px(p>0)的过焦点F??2?4
2
2
y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.同样可得抛物线y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py类似的性质．
3．解决直线与圆锥曲线相交时的弦长问题方法是：设而不求，根据韦达定理，进行整体代入．即当直线与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝
11＋2|y1
k
－y2|，而|x1－x2|＝x1＋x22－4x1x2等，根据将直线方程与圆锥曲线方程联立消元后的一元二次方程，利用韦达定理进行整体代入． 【历届高考真题】 【2012年高考试题】
xy21.【2012高考真题浙江理8】如图，F1,F2分别是双曲线C：2?2?1（a,b＞0）的左、
ab右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点，线段PQ的垂直
2平分线与x轴交与点M，若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是
A.
236 B。 C.2 D. 323 【答案】B
b?y?x?b,?b?cx?b，联立方程组?【解析】由题意知直线F得点1B的方程为：y?cxy???0??abb?y?x?b,?acbcacbc?c,)，联立方程组?,)，所以PQ的中点坐标为Q(得点P(?c?ac?ac?ac?a?x?y?0??aba2cc2c2ca2c(2,)，所以PQ的垂直平分线方程为：y???(x?2)，令y?0，得bbbbba2a2x?c(1?2)，所以c(1?2)?3c，所以a2?2b2?2c2?2a2，即3a2?2c2，所以
bb
e?6。故选B 22.【2012高考真题新课标理8】等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物
线y2?16x的准线交于A,B两点，AB?43；则C的实轴长为（ ）
(A)2 (B) 22 (C)?
(D)?
x2y23.【2012高考真题新课标理4】设F1F2是椭圆E:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，Pab为直线x?
3a?上一点，?F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（ ） 212? (B) (C) (A)23?(D)? ?【答案】C
?【解析】因为?F2PF的等腰三角形，则有1是底角为30F2F1?F2P,，因为
?PF1F2?300，所以
113a1PF2?F1F2，即?c??2c?c，22223ac33?2c，即?，所以椭圆的离心率为e?，选C. 所以2a44?PF2D?600,?DPF2?300，所以F2D?
