题。
例8．已知全集I＝N*，集合A＝｛x｜x＝2n，n∈N*｝，B＝｛x｜x＝4n，n∈N｝，则（ ） A．I＝A∪B
B．I＝（CIA）∪B
D．I＝（CIA）∪（CIB）
C．I＝A∪（CIB）
解：方法一：CIA中元素是非2的倍数的自然数，CIB中元素是非4的倍数的自然数，显然，只有Ｃ选项正确.
方法二：因A＝｛2，4，6，8…｝，B＝｛4，8，12，16，…｝，所以CIB＝｛1，2，3，5，6，7，9…｝，所以I＝A∪CIB，故答案为Ｃ.
方法三：因BA，所以（CI）A（CI）B，（CI）A∩（CIB）＝CIA，故I＝A∪（CIA）＝A∪（CIB）。
方法四：根据题意，我们画出Venn图来解，易知BA，如图：可以清楚看到I=A∪（CIB）是成立的。
点评：本题考查对集合概念和关系的理解和掌握，注意数形结合的思想方法，用无限集考查，提高了对逻辑思维能力的要求。 题型5：集合的应用
例9．向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果 赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人。问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
解：赞成A的人数为50×=30，赞成B的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U，赞成件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集B。
设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都赞成的学生人数为
35AX30-XUB33-XX+13事合不
x+1,赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为333x－x。依题意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,解得x=21。所以对A、B都赞成的同学有21人，都
3不赞成的有8人。
点评：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握。本题主要强化学生的这种能力。解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来。本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索。画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系。
例10．求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有多少个？
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解：如图先画出Venn图，不难看出不符合条件 的数共有（200÷2）＋（200÷3）＋(200÷5) 5的倍数－(200÷10)－(200÷6)－(200÷15)
2的倍数＋(200÷30)＝146 3的倍数所以，符合条件的数共有200－146＝54（个）
点评：分析200个数分为两类，即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类，而不满足条件的这一类标准明确而简单，可考虑用扣除法。 题型7：集合综合题
例11．设集合A={x||x－a|<2}，B={x|
2x?1<1}，若A?B，求实数a的取值范围。 x?2解：由|x－a|<2，得a－2 2x?1x?3<1，得<0，即－2 ?a?2?3因为A?B，所以?点评：这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目。主要考查集合的概念及运算，解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法。在解题过程中要注意利用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法。 例12．已知{an}是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn,设集合A={(an, Sn1)|n∈N*},B={(x,y)| x2－y2=1,x,y∈R}。 4n试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明： （1）若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上； （2）A∩B至多有一个元素； （3）当a1≠0时，一定有A∩B≠?。 n(a1?an)SS1,则n?(a1+an),这表明点(an,n)的 n22nS111坐标适合方程y?(x+a1),于是点(an, n)均在直线y=x+a1上。 222n11?y?x?a1??22（2）正确；设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组?的解，由方程组122?x?y?1??4解：（1）正确；在等差数列{an}中，Sn=消去y得：2a1x+a12=－4(*)， 当a1=0时，方程(*)无解，此时A∩B=?； ?4?a1当a1≠0时，方程()只有一个解x= 2a1* 22??4?a1?y?2a1?,此时，方程组也只有一解?,故上 2?y?a1?4?4a1?述方程组至多有一解。 - 6 - ∴A∩B至多有一个元素。 Sn >0，这时集合nA中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1=1≠0 如果A∩B≠?，那么据 （3）不正确；取a1=1，d=1，对一切的x∈N*，有an=a1+(n－1)d=n>0, ?4?a1a?x032(2)的结论，A∩B中至多有一个元素(x0,y0),而x0=??＜0,y0=1?＜0，这样 2a1524的(x0,y0)?A,产生矛盾，故a1=1,d=1时A∩B=?，所以a1≠0时，一定有A∩B≠?是不正确的。 点评：该题融合了集合、数列、直线方程的知识，属于知识交汇题。 变式题：解答下述问题： （Ⅰ）设集合A?{x|x2?2x?2m?4?0},B?{x|x?0},，若A?B??,求实数m的取值范围. 分析：关键是准确理解A?B? 的具体意义，首先要从数学意义上解释A?B?意义，然后才能提出解决问题的具体方法。 解： 的 2命题?方程x2?2x?2m?4?0至少有一个负实数根,设M?{m|关于x的方程x2?2x?2m?4?0两根均为非负实数}, ???4(?2m?3)?0?3?则?x1?x2?2?0??2?m??,2???x1x2?2m?4?033?M?{m|?2?m??}设全集U?{m|??0}?{m|m??} 22?m的取值范围是 UM={m|m<-2}. (解法二)命题?方程的小根x?1??2m?3?0??2m?3?1??2m?3?1?m??2.2 （解法三）设f(x)?x?2x?4,这是开口向上的抛物线，?其对称轴x?1?0，则二次函数性质知命题又等价于f(0)?0?m??2, 注意，在解法三中，f(x)的对称轴的位置起了关键作用，否则解答没有这么简单。 （Ⅱ）已知两个正整数集合A={a1,a2,a3,a4}, B?{a1,a2,a3,a4},其中a1?a2?a3?a4 若A?B?{a1,a4},且a1?a4?10,且A?B的所有元素之和是124,求集合A、B. 分析：命题中的集合是列举法给出的，只需要根据“交、并”的意义及元素的基本性质解决，注意“正整数”这个条件的运用， 2222 - 7 - ?1?a1?a2?a3?a4,?a1?a2?a3?a4,?A?B?{a1,a4},?只可能有a1?a1?a1?1,2而a1?a4?10,?a4?9,?a4?a4,2(1)若a2?a4,则a2?3,?A?B?{1,3,a3,9,a3,81},222222 ?a3?a3?94?124?a3?5;(2)若a3?a4,则a3?3,同样可得a2?5?a3,与条件矛盾,不合;综上,A?{1,3,5,9},B?{1,9,25,81}.（Ⅲ）设集合A?{(x,y)|y2?x?1},B?{(x,y)|4x2?2x?2y?5?0}, 22C?{(x,y)|y?kx?b},问是否存在自然数k,b,使(A?B)?C?试证明你的结论.分析：正确理解(A?B)?C?, ,并转化为具体的数学问题. ,必须A?C?且B?C?, 要使(A?B)?C?(A?C)?(B?C)??y2?x?1?k2x2?(2kb?1)x?b2?1?0, 由??y?kx?b当k=0时，方程有解x?b?1,不合题意； 24k2?1当k?0时由?1?(2kb?1)?4k(b?1)?0得b?① 4k222?4x2?2x?2y?5?0?4x2?2(1?k)x?5?2b?0, 又由??y?kx?b20?(k?1)2由?2?4(1?k)?16(5?2b)?0得b?②， 82由①、②得b?k?120?1,而b?, 4k8∵b为自然数，∴b=2，代入①、②得k=1 点评：这是一组关于集合的“交、并”的常规问题，解决这些问题的关键是准确理解问题条件的具体的数学内容，才能由此寻求解决的方法。 题型6：课标创新题 例13．七名学生排成一排，甲不站在最左端和最右端的两个位置之一，乙、丙都不能站在正中间的位置，则有多少不同的排法？ 解：设集合A={甲站在最左端的位置}， B={甲站在最右端的位置}， C={乙站在正中间的位置}， D={丙站在正中间的位置}， - 8 -
