因式分解、分式复习
一、知识梳理
知识点一 因式分解
1．分解因式：把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因
式．
2．分解困式的方法：
⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出
来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
⑵运用公式法：平方差公式: ； 完全平方公式: ；
3．分解因式的步骤：
（1）分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解．
（2）在用公式时，若是两项，可考虑用平方差公式；若是三项，可考虑用完全平方公式；若是三项以上，可先进行适当的分组，然后分解因式。 4．分解因式时常见的思维误区：
提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准．若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉．分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等
【课前练习】
1.下列各组多项式中没有公因式的是（ ）
223
A．3x－2与 6x－4x B.3（a－b）与11（b－a） C．mx—my与 ny—nx D．ab—ac与 ab—bc 2. 下列各题中，分解因式错误的是（ ） A.x2?1?(x?1)(x?1) ;B.1?4y2?(1?2y)(1?2y)2222 C.81x?64y?(9x?8y)(9x?8y);D.(?2y)?x?(?2y?x)(2y?x)3. 列多项式能用平方差公式分解因式的是（）
A.9x2?49y2 B.?9x2?49y22222 C.9x?49y D.?(9x?49y)
22
4. 分解因式：x+2xy+y－4 =_____
25. 分解因式：（1）9n??22?2；2a2??22?2
（2）x?y? ；（3）25x?9y? ； （4）(a?b)?4(a?b)；（5）以上三题用了 公式
22【经典考题剖析】 例 1. 分解因式：
（1）xy?xy；（2）（3）（4）4?x?y??2?y?x? 3x3?18x2?27x；?x?1??x?1；
33223
分析：①因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式。提公因式时，不仅注意数，也要注意字母，字母可能是单项式也可能是多项式，一次提尽。 ②当某项完全提出后，该项应为“1” ③注意?a?b?2n??b?a?，?a?b?2n2n?1???b?a?2n?1
④分解结果（1）不带中括号；（2）数字因数在前，字母因数在后；单项式在前，多项式在后；（3）相同因式写成幂的形式；（4）分解结果应在指定范围内不能再分解为止；若无指定范围，一般在有理数范围内分解。 例2. 分解因式：
2（1）x?3xy?10y；（2）2xy?2xy?12xy；（3）x?4223223??2?16x2
分析：对于二次三项齐次式，将其中一个字母看作“末知数”，另一个字母视为“常数”。首先考虑提公因式后，由余下因式的项数为3项，可考虑完全平方式或十字相乘法继续分解；如果项数为2，可考虑平方差、立方差、立方和公式。（3）题无公因式，项数为2项，可考虑平方差公式先分解开，再由项数考虑选择方法继续分解。 例3. 计算：（1）?1?2??1??1??1??1?1????1?1???????? 22??32??92??102?222222（2）2002?2001?2000?1999?1998?????2?1
分析：（1）此题先分解因式后约分，则余下首尾两数。
（2）分解后，便有规可循，再求1到2002的和。
32例4. 分解因式：（1）4x?4xy?y?z；（2）a?a?2b?2ab
222分析：对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法，
例5. （1）在实数范围内分解因式：x?4；
（2）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a?b?c?ab?bc?ac，
2224求证：△ABC为等边三角形。
分析：此题给出的是三边之间的关系，而要证等边三角形，则须考虑证a?b?c， 从已知给出的等式结构看出，应构造出三个完全平方式?a?b?2??b?c?2??c?a?2?0， 即可得证，将原式两边同乘以2即可。略证：a?b?c?ab?bc?ac?0
222?????? 2a?2b?2c?2ab?2bc?2ac?0 a?b?b?c?c?a?0
222222 ∴a?b?c 即△ABC为等边三角形。
知识点二 分式
1．分式有关概念
（1）分式：分母中含有字母的式子叫做分式。对于一个分式来说：
①当____________时分式有意义。②当____________时分式没有意义。③只有在同时满足____________，且____________这两个条件时，分式的值才是零。
（2）最简分式：一个分式的分子与分母______________时，叫做最简分式。
（3）约分：把一个分式的分子与分母的_____________约去，叫做分式的约分。将一
个分式约分的主要步骤是：把分式的分子与分母________，然后约去分子与分母的_________。 （4）通分：把几个异分母的分式分别化成与____________相等的____________的分式
叫做分式的通分。通分的关键是确定几个分式的___________ 。
（5）最简公分母：通常取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。求几个分式的最简公分母时，注意以下几点：①当分母是多项式时，
一般应先 ；②如果各分母的系数都是整数时，通常取它们的系数的 作为最简公分母的系数；③最简公分母能分别被原来各分式的分母整除；④若分母的系数是负数，一般先把“－”号提到分式本身的前边。 2．分式性质：
（1）基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个 ，分式的
值 ．即：
AA?MA?M??(其中M?0) BB?MB?M（2）符号法则：____ 、____ 与__________的符号， 改变其中任何两个，分式的值
不变。即：
?aaa?a ?????b?bb?b3.分式的运算：? 注意：为运算简便，运用分式 aba?b?同分母?????ccc的基本性质及分式的符号法 ?加减?acad?bc?则： ?异分母????bdbd? ①若分式的分子与分母的各项 ?acac??系数是分数或小数时，一般要化乘?????bdbd为整数。 分式运算?乘除?acadad??除 ②若分式的分子与分母的最高次??????bdbcbc?项系数是负数时，一般要化为正?n?乘方(a)n?a(n为整数)数。 n?bb ?? ? （1）分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减， ，把分子相加减；（2）
异分母的分式相加减，先 ，化为 的分式，然后再按 进行计算
（2）分式的乘除法法则：分式乘以分式，用_________做积的分子，___________做积的分母，公式：_________________________；分式除以分式，把除式的分子、分母__________后，与被除式相乘，公式： ； （3）分式乘方是____________________，公式_________________。
4．分式的混合运算顺序，先 ，再算 ，最后算 ，有括号先算括号内。 5．对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值． 【课前练习】
1. 判断对错：
①如果一个分式的值为0，则该分式没有意义（ ） ②只要分子的值是0，分式的值就是0（ ） ③当a≠0时，分式
11＝0有意义（ ）； ④当a＝0时，分式＝0无意义（ ） aax?y12x212x2,x?13,,,,中，整式和分式的个数分别为（ ） 2. 在3x,0,323xx?y? A．5，3 B．7，1 C．6，2 D．5，2 3. 若将分式
a?b (a、b均为正数）中的字母a、b的值分别扩大为原来的2倍，则ab11；C．不变；D．缩小为原来的 24分式的值为（ ）
A．扩大为原来的2倍 ；B．缩小为原来的
9?x24.分式2约分的结果是 。
x?6x?95. 分式
xy,,7(y?2)的最简公分母是 。
4(x?y)(y?2)6(y?x)(2?y)
