《常微分方程》试题
一.填空题
1．若xi(t)（i=1,2,┄,n）是n阶线性齐次方程的一个基本解组，x(t)为非齐性齐次方程方程的一个特解，则非齐线形方程的所有解可表为
2．若?（t）和?（t）都是xˊ= A(t) x的 基解矩阵，则?（t）与?（t）具有关系：
3．若?（t）是常系数线性方程组x??Ax的 基解矩阵,则该方程满足初始条件?(t0)??的解?(t)=_____________________
4．二阶线性齐次微分方程的两个解y??1(x),y??2(x)成为其基本解组的充要条件
5．n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间.
6. 向量函数组Y1(x), Y2(x),…,Yn(x)线性相关的 条件是它们的朗斯期行列式W(x)=0.
7.若X1(t), X2(t) ,?Xn(t)为n阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是
8.若?(t)和?(t)都是X'=A(t)X的基解矩阵，则 ?(t)和?(t)具有关系：
二.单选题
1.容易验证：y1?coswx,y2?sinwx(w?0)是二阶微分方程y???w2y?0的解，试指出下列哪个函数是方程的通解。（式中C1,C2为任意常数）（ ） （A）y?C1coswx?C2sinwx （B）y?C1coswx?2sinwx （C）y?C1coswx?2C1sinwx （D）y?C12coswx?C2sinwx 2.微分方程y???y?ex?1的一个特解应有形式 ( )
（A）aex?b； （B）axex?bx； （C）aex?bx； （D） axex?b 3.微分方程y????y??sinx的一个特解应具有形式 ( )
（A）Asinx （B）Acosx （C）Asix?Bcosx （D）x(Asinx?Bcosx) 4.微分方程y???y?xcos2x的一个特解应具有形式（ ）
（A）(Ax?B)cos2x?(Cx?D)sin2x （B）(Ax2?Bx)cos2x （C）Acos2x?Bsin2x （D）(Ax?B)cos2x 5.微分方程y''?2y'?1?0的通解是（ ）
（A）y?(C1?C2x)e?x； （B）y?C1ex?C2e?x；
11x； （C）y?C1cosx?C2sinx?x。 226.设线性无关的函数y1,y2,y3都是二阶非齐次线性方程y''?p(x)y'?q(x)y=f(x)的解，C1,C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是（ ）
（A）C1y1?C2y2?y3； （B）C1y1?C2y2?(C1?C2)y3；
（C）y?C1?C2e?2x?（C）C1y1?C2y2?(1?C1?C2)y3； （D）C1y1?C2y2?(1?C1?C2)y3
7．函数?1(x),?2(x)在区间［a,b］上的朗斯基行列式恒为零，是它们在[a, b]上线性相关的( ).
(A)充分条件； (B)必要条件；
(C)充分必要条件； (D)充分非必要条件.
8．n阶线性非齐次微分方程的所有解是否构成一个线性空间?( )
(A)是； (B)不是； (C)也许是； (D)也许不是.
9.两个不同的线性齐次微分方程组是否可以有相同的基本解组?( )
(A)不可以 (B)可以
(C)也许不可以 (D)也许可以
dY?A(x)Y的一个基解矩阵，10.若Φ(x)是线性齐次方程组T为非奇异n×n常数矩阵，dx那么Φ(x)T是否还是此方程的基解矩阵.( )
(A)是 (B)不是
(C)也许是 (D)也许不是
三．将下列方程式化为一阶方程组
d2xdx （1）m2?c?kx?f(t)
dtdt（2）y????a1(x)y???a2(x)y??a3(x)y?0 四．
1.已知方程(x?1)y???xy??y?0的一个解y1?x，试求其通解． 2．y?xy??(y?)3
2．x???x?sint?cos2t
3、求微分方程x2y???xy??1的通解 。
??1??21??4．若A??试求方程组x?Ax的解?(t),?(0)?????并求expAt ???14???2?
?2?11??2?1?的基解矩阵 5、试求：1????1?12??
六．设函数?(x)连续? 且满足 ?(x)?ex??t?(t)dt?x??(t)dt? 求?(x)? (8分)
00xx七．证明题
1.设n?n矩阵函数A1(t)，A2(t)在（a, b）上连续，试证明，若方程组
dXdX?A1(t)X 与?A2(t)X
dtdt有相同的基本解组，则A1(t)?A2(t)．
2.假设y1(x)，y2(x)是方程y???p(x)y??q(x)y?0定义在(a,b)上的解，其中p(x)，q(x)在(a,b)上连续，证明：如果y1(x)，y2(x)均在x0?(a,b)点取局部极值，则y1(x)，y2(x)在(a,b)上不能构成方程的基本解组．
3.n阶线性齐次微分方程一定存在n个线性无关解。 4．设x1(t),x2(t),.....,xn?1(t)是方程x(n)?a1(t)x(n?1)?...?an?1(t)x??an(t)x?f(t)的n+1个线性
无关解,证明微分方程的任一解恒能表为:
x(t)?c1x1(t)?c2x2(t)?.....?cnxn(t)?cn?1xn?1(t)且c1?c2?.....?cn?cn?1?1
