【分析】（1）因为已知抛物线顶点坐标，故可设顶点式，再把点B坐标代入即求得抛物线解析式．
（2）先由抛物线解析式求点A、D、E坐标，得到点D、E关于对称轴直线x＝1对称，故有DG＝EG．求直线AE解析式，进而得到其与y轴交点F，作F关于x轴的对称点F'，则有FH＝F'H．所以当点E、G、H、F'在同一直线上时，四边形DGHF周长最小．求EF'的长和直线EF'解析式，即求得点G、H的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线顶点为（1，4） ∴设顶点式y＝a（x﹣1）+4 ∵点B（3，0）在抛物线上 ∴a（3﹣1）+4＝0 解得：a＝﹣1
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）+4＝﹣x+2x+3
（2）x轴上存在点H使D，G，H，F四点所围成的四边形周长最小． 如图，作点F关于x轴对称的对称点F'，连接EF' ∵x＝0时，y＝﹣x+2x+3＝3 ∴D（0，3）
∵当y＝0时，﹣x+2x+3＝0 解得：x1＝﹣1，x2＝3 ∴A（﹣1，0）
∵点E在抛物线上且横坐标为2
22
2
2
2
2
∴yE＝﹣2+2×2+3＝3 ∴E（2，3）
∴点D、E关于对称轴对称 ∴DG＝EG
设直线AE解析式为y＝kx+e ∴
解得：
2
∴直线AE：y＝x+1 ∴F（0，1）
∴F'（0，﹣1），HF＝HF'，DF＝3﹣1＝2 ∴C四边形DGHF＝DF+DG+GH+FH＝DF+EG+GH+F'H
∴当点E、G、H、F'在同一直线上时，C四边形DGHF＝DF+EF'最小 ∵EF'＝∴C四边形DGHF＝2+2
设直线EF'解析式为y＝mx﹣1 ∴2m﹣1＝3 ∴m＝2
∴直线EF'：y＝2x﹣1 当y＝0时，解得x＝ ∴H（，0）
当x＝1时，y＝2﹣1＝1 ∴G（1，1）
∴四边形DGHF周长最小值为2+2
，点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）．
