（1）求证：无论（2）当二面角
为何值，在棱上总存在一点，使得平面；
为直二面角时，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）1 【解析】 分析：（1）无论
为何值，当为棱
的中点时，总有
平面
；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可. 详解：（1）无论证明如下：如图，连接在平面
内，所以，
为何值，当为棱，则
是平面
的中点时，总有的中位线，有；
平面，
；
（2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则于是
.
，
，
设平面解得：设平面解得：因为二面角所以
的法向量为
的法向量为
，则，即
，则，即
为直二面角，
，得
.
，即
点睛：运用空间向量解决立体几何问题的步骤
(1)建系：根据题中的几何图形的特征建立适当的空间直角坐标系； (2)定坐标：确定点的坐标进而求出有关向量的坐标；
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(3)向量运算：进行相关的空间向量的运算；
(4)翻译：将向量中的语言“翻译”成相应的立体几何中的语言，完成几何问题的求解． 19.已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由某电视台举办的知识类答题闯关活动，活动共有四关，设男生闯过一至四关的概率依次是四关的概率依次是
.
，女生闯过一至
（1）求男生闯过四关的概率；
（2）设表示四人冲关小组闯过四关的人数，求随机变量的分布列和期望. 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】
分析：（1）利用相互独立事件的概率计算公式即可得出； （2）记女生四关都闯过为事件，则利用相互独立事件的概率公式即可得出. 详解：（1）记男生四关都闯过为事件，则（2）记女生四关都闯过为事件，则因为
，
，
，
，
所以的分布如下：
，
；
，的取值可能为0，1，2，3，4，
.
点睛：本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式，随机变量的分布列与数学期望计算
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公式，考查了推理能力与计算能力. 20.如图，和半径
是圆
内一个定点，是圆上任意一点.线段
的垂直平分线
相交于点.
（Ⅰ）当点在圆上运动时，点的轨迹是什么曲线？并求出其轨迹方程； （Ⅱ）过点积的最大值. 【答案】（Ⅰ）【解析】
试题分析：由题意可得椭圆，求得设的方程为
，根据椭圆的定义得点的轨迹是以、为焦点的
；（Ⅱ）
.
作直线与曲线交于、两点，点关于原点的对称点为，求
的面
的值，代入即可求得其轨迹方程；
，联立方程得
，消去得
，
，根据韦达定理及换元后根据函数单调性即可求得面积的最大
值。
解析：（Ⅰ）由题意得
根据椭圆的定义得点的轨迹是以、为焦点的椭圆，
轨迹方程为
（Ⅱ）由题意知
，
（为点到直线的距离），
设的方程为，联立方程得，消去得
设，则，
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则，
又令
，由
，得，
， ，易证
，
在递增，，
面积的最大值.
点睛：本题考查了点的轨迹问题，运用椭圆的定义求出轨迹方程，在求椭圆内三角形面积问题时先确定计算面积的方法，本题利用弦长公式求出三角形的边长，然后点到线的距离求出高，在计算过程中利用基本不等式求出结果。 21.已知函数（1）当（2）若数列【答案】（1）【解析】 分析：（1）求出（2）
上单调递增，且详解：（1）依题意
恒成立，即
亦即令则令
，则
在上单调递增，在
，
上也单调递增，
恒成立.
，
，
，构造函数，所以
，
，，即可证明. ，
恒成立，
，求导分类讨论即可；
，由（1）知，
在
时，
满足：
，
.
恒成立，试求实数的取值范围； ，
，证明：
.
；（2）见解析
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