东城区2013-2014学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （文科）2014.1
本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1、已知集合A?{x|0?x?2}，B?{?1,0,1}，则A?B?
（A）{?1} （B）{0} （C）{1} （D）{0,1} 2、在复平面内，复数i(2?i)对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 3、下列函数中，既是偶函数又在区间(0,??)上单调递减的是
（A）y??ln|x| （B）y?x （C）y?2 （D）y?cosx 4、 “x?1”是“x?1”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 5、执行如图所示的程序框图，输出的a值为
（A）3
（B）5 （C）7
22开始 S=1 a=3 S=S×a S ≥100? 否 是 输出a 结束 3|x|2a =a+2
（D）9
6、直线y?kx?3与圆(x?2)?(y?3)?4相交于A，B两点，若|AB|?23，则k? （A）?3
（B）?33 （C）3 （D） 337、关于平面向量a,b,c，有下列三个命题： ①若a?b?a?c，则b?c；
②若a?(1,k)，b?(?2,6)，a∥b，则k??3；
③非零向量a和b满足|a|?|b|?|a?b|，则a与a?b的夹角为30． 其中真命题的序号为
（A）①② （B）①③ （C）②③ （D）①②③
2??x?5x,x?0,8、已知函数f(x)??x若f(x)?kx，则k的取值范围是
???e?1,x?0.? （A）(??,0] （B）(??,5] （C）(0,5] （D）[0,5]
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 9、命题“?x?R，x?1”的否定是 ．
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x210、双曲线?y2?1的离心率e? ；渐近线方程为 ．
911、在△ABC中，a?15，b?10，A?60?，则cosB? ．
?x?0,?12、已知变量x,y满足约束条件?y?1,则z?4x?2y的最大值为 ．
?x?y,?13、某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为 ．
俯视图*11正(主)视图13侧(左)视图14、对于实数x，用[x]表示不超过x的最大整数，如[0.3]?0，[5.6]?5．若n?N，
?n?an???，Sn为数列?an?的前n项和，则S8? ；S4n?__________．
?4?三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15、（本小题共13分）已知函数f(x)?23sinxcosx?2cosx?1． （Ⅰ）求f(x)的最小正周期；（Ⅱ）若??(0,)，且f(?)?1，求?的值． 16、（本小题共13分）已知?an?是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5?45, a2?a6?14.
（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列?bn?满足：
DC2?2bb1b2?2???n?an?1(n?N*)，求{bn}的前n项和. n22217、（本小题共14分）如图，边长为4的正方形ABCD与矩形ABEF所在平面互相垂直，M,N分别为AE,BC的中点，AF?3. （Ⅰ）求证：DA?平面ABEF； （Ⅱ）求证：MN∥平面CDFE.
（Ⅲ）在线段FE上是否存在一点P，使得AP?MN？
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若存在，求出FP的长；若不存在，请说明理由.
18、（本小题共13分）已知函数f(x)?lnx?ax(a?0). （Ⅰ）当a?2时，求f(x)的单调区间与极值； （Ⅱ）若对于任意的x?(0,??)，都有f(x)?0，求a的取值范围.
3x2y219、（本小题共13分）已知椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为，右焦点为(3,0)． （Ⅰ）求
2ab椭圆方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点且斜率为k的直线与椭圆交于点A(x1,y1)，B(x2,y2)，若求斜率k的值.
20、（本小题共14分）设集合Sn?{1,2,3,...,n}，若X是Sn的子集，把X中所有元素的和称为X的“容量”（规定空集的容量为0），若X的容量为奇（偶）数，则称X为Sn的奇（偶）子集． (Ⅰ) 写出S4的所有奇子集；(Ⅱ) 求证：Sn的奇子集与偶子集个数相等；
（Ⅲ）求证：当n?3时，Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．
x1xyy212??0，a2b2东城区2013-2014学年度第一学期期末教学统一检测
高三数学参考答案及评分标准 （文科）
一、1、C 2、B 3、A 4、A 5、C 6、B 7、C 8、D 二、 9、 ?x0?R，x0?1 ； 10、10 ， x?3y?0； 311、
632； 12、； 13、 14、6，2n?n ； 32 ；
注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15、（共13分）
2 解：（Ⅰ）因为f(x)?3sin2x?(2cosx?1)?3sin2x?cos2x?2sin(2x?)，
?6所以f(x)的最小正周期为?． …………………8分 （Ⅱ）因为f(?)?1，所以sin(2??)?所以2??（16）（共13分）
解：（Ⅰ）设等差数列?an?的公差为d，且d?0．由已知可得??61???5?．因为??(0,)，所以2???(?,)． 22666????．故??． ……………13分 666?(a1?2d)(a1?4d)?45,
?a1?3d?7.解方程组，可得a1?1，d?2． 可得an?2n?1．
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所以数列{an}的通项公式an?2n?1． ……………………………6分
（Ⅱ）设cn?bn，则c1?c2???cn?an?1,即c1?c2???cn?2n. 2n当n?1时，得c1?2.当n?2时，cn?2n?2(n?1)?2． 当n?1时符合cn?2．综上，可知cn?2(n?N*)．所以bn?2所以数列?bn?是首项为4，公比为2的等比数列．
n?1．
4(1?2n)所以数列?bn?前n项和Sn??2n?2?4． ………………13分
1?217、（共14分）
证明：（Ⅰ）因为ABCD为正方形，所以DA?AB.
因为平面ABCD?平面ABEF，且DA垂直于这两个平面的交线AB， 所以DA?平面ABEF. …………………4分
（Ⅱ）连结FB,FC. 因为ABEF是矩形，M是AE的中点， 所以M是BF的中点. 因为N是BC的中点， 所以MN∥CF. 因为MN?平面CDFE，
FAMEBNDCCF?平面CDFE， 所以MN∥平面CDFE. …………………9分
（Ⅲ）过A点作AG?FB交线段FE于点P，P点即为所求.因为CB?平面ABEF，所以CB?AP. 因为AP?FB，所以AP?平面BNM. 所以AP?MN. 因为所以FP?FP3?，AF?3， AF49. …………………14分 411?2x (x?0)．?2?xx）?lnx?2x，18、（共13分）解：（Ⅰ）当a?2时，因为f(x 所以f'(x）?所以，当0?x?111时，f'(x)?0；当x?时，f'(x)?0．所以，函数f(x的单调递增区间为(0,)，）222111时，取得极大值f(）?ln?1，无极小值． ……6分 222递减区间为(,??)．且函数f(x在x?）（Ⅱ）因为f'(x）?1211?ax，又a?0， ?a?xx1111）所以，当0?x?时，f'(x)?0；当x?时，f'(x)?0．即函数f(x在(0,)上单调递增；在(,??)aaaa111）单调递减．所以函数f(x在x?时，取得最大值f(）?ln?1．因为对于任意x?(0,??)，都有
aaa1111f(x)?0， 所以f(）?0，即ln?1?0，可得a?．即a的取值范围是(,??)．…………13分
aaee19、（共13分）
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解：（Ⅰ）依题意有c?3，又c322，即a?2，b?a?c?1． ?a2x2故椭圆方程为?y2?1．………………………5分
4（Ⅱ）因为直线AB过右焦点(3,0)，设直线AB的方程为 y?k(x?3).
?x22??y?1，2222联立方程组?4消去y并整理得(4k?1)x?83kx?12k?4?0．
?y?k(x?3).?83k212k2?4?k2故x1?x2?，x1x2?．y1y2?k(x1?3)?k(x2?3)?．
4k2?14k2?14k2?13k2?1?k2x1x2y1y2x1x2又a2?b2?0，即4?y1y2?0．所以4k2?1?4k2?1?0，
可得k??2．…………………………………13分 220、（共14分）解：（Ⅰ）{1},{3}，{1,2},{1,4},{2,3},{3,4}，{1,2,4},{2,3,4}. ………………4分
（Ⅱ）对于Sn的每个奇子集A，当1?A时，取B?eA{1}，当1?A时，取B?A?{1}，
反之，若B为Sn的偶子集，当1?B时，取A?eB{1}，当1?B时，取A?B?{1}， 则A为Sn的奇子集.Sn的奇子集与偶子集之间建立了一个一一对应， 所以Sn的奇子集与偶子集的个数相等. ……………………9分
（Ⅲ）对于任意i?Sn，（1）当i?1时，含i的Sn的子集共有2n?1个，由（Ⅱ）可知，对每个数i（i?1），在奇子集与偶子集中，i所占的个数是相等的；
（2）当i?1时，将（Ⅱ）中的1换成3即可，可知i?1在奇子集与偶子集中占的个数是相等的. 综合（1）（2），每个元素都是在奇子集与偶子集中占的个数相等.
所以Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和.. …………14分
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