点集拓扑学 General Topology
【课程编号】 RZ2150 【学分数】 3 【学时数】 50 一、教学目的、任务
【课程类别】专业必修 【适用专业】数学与应用数学 【编写日期】2010年4月25日
【适用专业】 数学与应用数学 【先修课程】 数学分析，实变函数，近世代数
点集拓扑学是高等学校数学与应用数学本科专业学生一门必修的重要专业理论课，它是为培养现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。点集拓扑学课程的教学效果，对学生后续数学课程的学习及今后从事数学教学和研究都有着深远的影响。
通过本课程的学习，要使学生初步获得点集拓扑学的基本概念、基本理论和基本运算技能，为进一步学习数学专业后继课程打下良好的基础。
在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象概括问题的能力，逻辑推理能力，空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。 二、课程教学的基本要求
通过对集合论、拓扑空间、子空间、积空间、商空间、连通性、可数性公理、分离性公理和紧空间的学习，要求学生理解集合、关系、映射、集族、可数集等概念, 掌握集合和集族的运算；要求学生理解度量空间、拓扑空间、基的概念, 了解子基和序列的概念, 掌握连续映射、拓扑空间的内部结构；要求学生掌握子空间和积空间, 了解商空间；要求学生理解连通性的概念, 了解连通性的简单应用, 了解连通分支、局部连通空间和道路连通空间；要求学生理解可数性公理和可分性的概念, 掌握Ｌｉｎｄｌｏｆ空间；要求学生理解分离性公理的概念, 掌握T0 T1 T2 T3 T4-空间及可度量化空间, 了解Ｕｒｙｓｈｏｎ引理和完全正则空间；要求学生理解紧空间的概念, 了解紧性与分离性公理的关系, 掌握.紧空间, 知道欧氏空间的紧子集和几种紧性。 三、教学内容和学时分配
（一）第一章 集合论初步 学时 10
主要内容：
第一节 集合的运算 第二节 集合的运算 第三节 关糸 第四节 等价关糸 第五节 映射 第六节 集族及其运算 第七节 可数集 第八节 选择公理
教学要求：要求学生通过集合论的学习，理解集合、关系、映射、集族、可数集等概念, 掌握集合和
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集族的运算。 其它教学环节
（二）第二章 拓扑空间与连续映射 学时 10
主要内容：
第一节 度量空间与连续映射 第二节 拓扑空间与连续映射 第三节 邻域 第四节 闭包 第五节 内部与边界 第六节 基与子基 第七节 序列
教学要求：要求学生通过拓扑空间与连续映射的学习，理解度量空间、拓扑空间、基的概念, 了解子基和序列的概念, 掌握度量空间的连续映射、拓扑空间的连续映射、拓扑空间的内部结构。 其它教学环节
（三）第三章 子空间, 积空间, 商空间 学时 5
主要内容：
第一节 子空间 第二节 积空间 第三节 商空间
教学要求：要求学生通过子空间, 积空间, 商空间的学习，掌握子空间和积空间, 了解商空间。 其它教学环节
（四）第四章 连通性 学时 5
主要内容：
第一节 连通空间 第二节 连通性的简单应用 第三节 连通分支 第四节 局部连通空间 第五节 道路连通空间
教学要求：要求学生通过连通性的学习，理解连通性的概念, 了解连通性的简单应用, 了解连通分支、局部连通空间和道路连通空间。 其它教学环节：
（五）第五章 可数性公理 学时 8
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主要内容：
第一节 可数性公理 第二节 可分性
第三节 Ｌｉｎｄｌｏｆ空间
教学要求：要求学生通过可数性公理的学习，理解可数性公理和可分性的概念, 掌握Ｌｉｎｄｌｏｆ空间。 其它教学环节
（六）第六章 分离性公理 学时 8
主要内容：
第一节 T0 T1 T2-空间 第二节 T3 T4-空间 第三节 Ｕｒｙｓｈｏｎ引理 第四节 完全正则空间 第五节 分离性公理与子空间 第六节 可度量化空间
教学要求：要求学生通过分离性公理的学习，理解分离性公理的概念, 掌握T0 T1 T2 T3 T4-空间
及可度量化空间, 了解Ｕｒｙｓｈｏｎ引理和完全正则空间。
其它教学环节
（七）第七章 紧空间 学时 4
主要内容：
第一节 紧空间
第二节 紧性与分离性公理 第三节 欧氏空间的紧子集 第四节 几种紧性
教学要求：要求学生通过紧空间的学习，理解紧空间的概念, 了解紧性与分离性公理的关系, 掌握.紧空间, 知道欧氏空间的紧子集和几种紧性。 其它教学环节：
四、教学重点、难点及教学方法 【重点与难点】
第一章 集合的概念和运算，关系和映射，集族及其运算
第二章 度量空间的概念，拓扑空间的概念，拓扑空间的内部结构 第三章 子空间，积空间，商空间
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第四章 连通空间的概念及应用
第五章 第一可数性公理，第二可数性公理，可分空间，Lindel?ff空间 第六章 各类T族空间的概念和它们之间的关系
第七章 紧致空间，紧致性与分离性公理，各种紧致性和它们之间的关系 【教学方法】
采用启发式教学法，培养学生独立思考问题、分析问题和解决问题的能力；在讲授基本理论的基础上，引导和鼓励学生自学获取知识，增加讨论课、习题课等教学环节，把考研题或考研模拟题的解题方法与技巧讲座与课堂教学同步进行，进一步提高学生学习《点集拓扑》的积极性。本课程的教学环节包括课堂讲授、学生自习、课后作业、答疑、期末考试、考研讨论课。通过上述基本教学步骤，要求学生掌握点集拓扑的基本理论与思维方法，掌握基本的解题或论证方法和技巧，探索解题规律，做到举一反三，触类旁通。 五、考核方式及成绩评定方式
本门课程采取闭卷考试，平时成绩、期末考试成绩所占比重分别为30%、70%。
六、教材及参考书目
教材：《点集拓扑讲义》（第三版），高等学校教材，熊金城编，高等教育出版社 参考书：
1、《一般拓扑学导引》，高等学校试用教材，李孝传，陈玉清编，高等教育出版社； 2、《一般拓扑学》，J.L.凯莱 著，科学出版社。
修（制）订人：李招文 审核人：蓝师义
2010年 12 月 7 日
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