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?x??y2?max?x??y2??()??xy ?min22tg2?0??2?xy和解题步骤可归纳为： (1)建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。 相容方程（6） 这组方程由几何方程消去位移分量而得到。对于不少具体问题，上述方程还可以简化。 在弹性力学中，为克服求解偏微分方程(或方程组)的困难，通常采用试凑法，即根据物体形状的几何特性和受载情况，去试凑位移分量或应力分量；由弹性力学解的唯一性定理，只要所试凑的量满足全部方程和全部边界条件，即(2)区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。 ?x??y 二向应力状态的极值剪应力： ?max?(?x??y22 )2??xy三向应力状态的主应力： ?1??2??3 ???最大剪应力：?max?13 2二向应力状态的广义胡克定律： （1）、表达形式之一（用应力表示应变） ?x?1(?x???y) E1?y?(?y???x) E?z???E(?x??y) ?xy??xyG （2）、表达形式之二（用应变表示应力） ?x?E1??2E1??2(?x???y) (?y???x) ?y??z?0 可编辑
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?xy?G?xy 为问题的精确解。 (3)确定单元基函数，根据单元三向应力状态的广义胡克定律： ?x?1?x???y??z ?x,y,z? E从数学观点来看，弹性力学方程的中节点数目及对近似解精度的要求，定解问题可变为求泛函的极值问题。例选择满足一定插值条件的插值函数如，对于用位移作为基本变量求解的问作为单元基函数。有限元方法中的基题，又可以归结为求解变分方程： δП1=0 （7） 函数是在单元中选取的，由于各单元具有规则的几何形状，在选取基函数?????xy??xyG ?xy,yz,zx? 强度理论 （1）?r1??1???1? ?r2??1????2??3????? ?????bnb П1是物体的总势能，它是一切满时可遵循一定的法则。 足位移边界条件的位移的泛函。对于稳(4)单元分析：将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合（2）?r3??1??3???? ?r4?1??1??2?2???2??3?2???3??1?2???? 定平衡状态，精确的位移将使总势能2?? ?????sns П1取最小值的称为最小势能原理。又表达式进行逼近；再将近似函数代入如对于用应力作为基本变量求解的问积分方程，并对单元区域进行积分，题，可归结为求解变分方程： δП2=0 （8） 可获得含有待定系数(即单元中各节点的参数值)的代数方程组，称为单平面应力状态下的应变分析 ??xy??sin2? cos2??????22?2???xy?????x??y?sin2??? ???????2?cos2? 22????（1）????x??y??x??y??x??y?max?x??y???（2）?2?min2????xy???????2? ???22П2为物体的总余能，它是一切满元有限元方程。 足平衡微分方程和静力边界条件的应(5)总体合成：在得出单元有限tg2?0??xy ?x??y可编辑
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力分量的泛函。精确的应力分量将使总元方程之后，将区域中所有单元有限余能 П2取最小值的称为最小余能原元方程按一定法则进行累加，形成总理。(7)式等价于用位移表示的平衡微体有限元方程。 分方程和静力边界条件，而(8)式则等(6)边界条件的处理：一般边界价于用应力表示的相容方程。在求问题条件有三种形式，分为本质边界条件的近似解时，上述泛函的极值问题又进(狄里克雷边界条件 )、自然边界条件而变为函数的极值问题，最后归结为求(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西解线性非齐次代数方程组。 边界条件)。对于自然边界条件，一还有所谓的广义变分原理，其中最般在积分表达式中可自动得到满足。一般的是广义势能原理和广义余能原对于本质边界条件和混合边界条件，理，它们等价于弹性力学的全部基本方需按一定法则对总体有限元方程进程和边界条件。但和总势能П1和总余行修正满足。 能П2不同，广义势能和广义余能作为(7)解有限元方程：根据边界条应力分量、应变分量和位移分量的泛件修正的总体有限元方程组，是含所函，对于精确解，也只取非极值的驻值。 有待定未知量的封闭方程组，采用适可编辑
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当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。 基本假设 1、连续性假设——组成固体的物质内毫无1．假定物体是连续的，就是假定整个1．连续性假设。 空隙地充满了固体的体积： 物体的体积都被组成这个物体的介质 2、均匀性假设－－在固体内任何部分力学所填满，不留下任何空隙。 性能完全一样： 2．假定物体是完全弹性的，就是假定3、各向同性假设——材料沿各个不同方向物体完全服从胡克定律——应变与引力学性能均相同： 起该应变的那个应力分量成比例。 4、小变形假设——变形远小于构件尺寸，3．假定物体是均匀的，就是整个物体便于用变形前的尺寸和几何形状进行计算是由同一材料组成的。 研究。 4．假定物体是各向同性的，就是物体内一点的弹性在所有各个方向都相同。 5．假定位移和形变是微小的。
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