第7讲 n次独立重复试验与二项分布
1．事件的相互独立性
(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立． (2)性质：
①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)， P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)．
－－－－
②如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也相互独立． 2．独立重复试验与二项分布 独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验 用Ai(i＝1，2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An) ＝P(A1)P(A2)…P(An) 二项分布 在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生kknk次的概率为P(X＝k)＝Ck(k＝0，1，np(1－p)－定 义 计 算 公 式 2，…，n)
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相互独立事件就是互斥事件．( )
(2)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．( )
(3)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.( )
答案：(1)× (2)× (3)× [教材衍化]
1．(选修2-3P55练习T3改编)天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________．
解析：设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为AB＋AB， 所以P(AB＋AB)＝P(AB)＋P(AB)
＝P(A)P(B)＋P(A)P(B) ＝0.2×0.7＋0.8×0.3 ＝0.38. 答案：0.38
11
2．(教材习题改编)国庆期间，甲去北京旅游的概率为，乙去北京旅游的概率为，假
34定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．
－
解析：记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A，“乙去北京旅游”为事件B，又P(A 111－－－
1－??1－?＝，甲、乙二人至少有一人去北京旅B)＝P(A)·P(B)＝[1－P(A)][1－P(B)]＝??3??4?211－－
游的对立事件为甲、乙二人都不去北京旅游，故所求概率为1－P(A B)＝1－＝.
22
1答案：
2[易错纠偏]
(1)相互独立事件恰有一个发生的概率的理解有误； (2)独立重复试验公式应用错误．
1．计算机毕业考试分为理论与操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有两部分考试都“合格”者，才给颁发计算机“合格证书”．甲、乙两人在理论考试中“合4215
格”的概率依次为，，在操作考试中“合格”的概率依次为，，所有考试是否合格相互
5326之间没有影响．则甲、乙进行理论与操作两项考试后，恰有一人获得“合格证书”的概率为________．
412255
解析：甲获得“合格证书”的概率为×＝，乙获得“合格证书”的概率是×＝，
525369525232
1－?＋?1－?×＝. 两人中恰有一个人获得“合格证书”的概率是×?9??5?9455?
23
答案：
45
1
6，?，则P(X＝3)＝________． 2．设随机变量X～B??2?1?1?×?1－1?＝5. 6，?，所以P(X＝3)＝C3解析：因为X～B?6?2??2??2?165
答案：
16
3
3
相互独立事件的概率
(2020·丽水模拟)甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别
11
为与p，且乙投球2次均未命中的概率为. 216
(1)求乙投球的命中率p；
(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率．
【解】 (1)设“甲投一次球命中”为事件A，“乙投一次球命中”为事件B. 1－－
由题意得：P(B)P(B)＝，
161－1－
于是P(B)＝或P(B)＝－(舍去)．
44－3
故p＝1－P(B)＝.
4
1－1
(2)法一：由题设知，P(A)＝，P(A)＝.
22
－－3
故甲投球2次，至少命中1次的概率为1－P(A·A)＝.
4
1－1－
法二：由题设知，P(A)＝，P(A)＝.故甲投球2次，至少命中1次的概率为C12P(A)P(A)223＋P(A)P(A)＝.
4
利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路
(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和．
(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．
(3)代入概率的积、和公式求解．
从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，
111且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.
234
(1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 解：(1)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3. 11111－?×?1－?×?1－?＝， P(X＝0)＝??2??3??4?4
11111111111
1－?×?1－?＋?1－?××?1－?＋?1－?×?1－?×＝， P(X＝1)＝×?4??2?3?4??2??3?4242?3??11111111111－?××＋×?1－?×＋××?1－?＝， P(X＝2)＝??2?342?3?423?4?4
1111
P(X＝3)＝××＝.
23424所以，随机变量X的分布列为 X P 0 1 41 11 242 1 43 1 24(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为
P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0) ＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0) 11111111＝×＋×＝. 42424448
11
所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.
48
独立重复试验与二项分布
(1)(2020·浙江省名校协作体高三联考)箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小
相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是________．
(2)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓1
出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．
2
①设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列． ②玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
【解】 (1)由题意知，首先求出摸一次中奖的概率，从6个球中摸出2个，共有C26＝15种结果，两个球的号码之积是4的倍数，共有(1，4)，(3，4)，(2，4)，(2，6)，(4，5)，62
(4，6)，所以摸一次中奖的概率是＝，4个人摸奖，相当于发生4次试验，且每一次获奖
1552?3396296?3
的概率是，所以有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是C4×?5?×＝.故填.
55625625
(2)①X可能的取值为10，20，100，－200. 根据题意，有
?1?×?1－1?＝3， P(X＝10)＝C13×?2??2?8
P(X＝20)＝C23×
12
?1?×?1－1?＝3，
?2??2?8
21
