272
第十一章 反 常 积 分
有限区间 [ a , u] 上可积 , 且满足
f ( x) ≤ g ( x ) , x ∈ [ a, + ∞ ) ,
+ ∞
+ ∞ a
+ ∞
则当
a
+ ∞
g( x) d x 收敛时 g ( x ) d x 必发散 ) .
| f ( x) | d x 必收敛 ( 或者 , 当 | f ( x) | d x 发散
a
时 ,
a
sin x d x 的收敛性 . 例 1 讨论 2
0 1 + x sin x 1
解 由于
, x ∈ [0 , + ∞ ) , 以及2 ≤
1 + x1 + x2
sin x d x 为绝对收敛 . (§1 例 4 ) , 根据比较法则, 2
0 1 + x
上述比较法则的极限形式如下 :
+ ∞
+ ∞
∫
π 为收敛
2 =1 + x 2
d x ∫
推论 1 若 f 和 g 都在任何 [ a , u] 上可积 , g( x ) > 0 , 且 lim | f ( x) | = c, x → + ∞ g( x )
则有 :
( i) 当 0 < c < + ∞ 时,
+ ∞
∫
+ ∞ a
+ ∞
a + ∞
| f ( x ) | d x 与 g( x ) d x 同敛态 ; f ( x) d x 也收敛 ;
a
+ ∞
( ii) 当 c = 0 时 , 由
a
g( x) d x 收敛可推知
+ ∞
(ii) ) 当 c = + ∞ 时 , 由
a
g( x ) d x 发散可推知
a
+ ∞
f ( x ) d x 也发散 .
当选用
a x
为如下两个推论 ( 称为柯西判别法 ) .
推论 2 设 f 定义于 [ a , + ∞ ) ( a > 0 ) , 且在 任何 有限区 间 [ a , u] 上 可积 ,
1
∫
+ ∞
d x p
作为比较对 象 g( x ) d x 时 , 比较 判别 法及 其 极限 形式 成
则有 : 1 ( i) 当 f ( x) ≤ , x∈ [ a , + ∞ ) , 且 p > 1 时
p
+ ∞
f ( x) d x 收敛 ;
ax1 ( ii) 当 f ( x) ≥ , x ∈ [ a , + ∞ ) , 且 p ≤ 1 时 + ∞ f ( x) d x 发散 . ax
推论 3 设 f 定义于 [ a , + ∞ ) , 在任何有限区间 [ a , u] 上可积 , 且
p
则有 :
x → + ∞
lim x
p
f ( x ) = λ .
+ ∞
( i) 当 p > 1 , 0 ≤λ< + ∞时 ,
a
f ( x ) d x 收敛 ;
+ ∞
( ii) 当 p ≤ 1 , 0 < λ≤ + ∞ 时 ,
a
f ( x) d x 发散 .
§2 无穷积分的性质与收敛判别
273
例 2 讨论下列无穷限积分的收敛性 : 1)
xd x . xe d x; 2 ) 5 0 1
x+ 1
解 本例中两个被积函数都是非负的 , 故收敛与绝对收敛是同一回事 .
α
- x
∫
+ ∞
+ ∞
2
1) 由于对任何实数 α都有
x
lim x· xe = lim = 0 , x x → + ∞ x → + ∞ e
因此根据上述推论 3( p = 2 , λ= 0) , 推知 1 ) 对任何实数 α都是收敛的 .
2
α- x
α+ 2
2) 由于
1 2
lim x 2 · x → + ∞
x = 1 ,
5 x+ 1
1 因此根据上述推论 3( p = , λ= 1 ) , 推知 2) 是发散的 .
2
b
对于
- ∞
f ( x ) d x 的比较判别亦可类似地进行 .
三 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法
这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法 .
u
定理 11 .3 ( 狄利克雷判别法 ) 若 F( u ) =
a
f ( x ) d x 在 [ a , + ∞ ) 上有界 ,
+ ∞
g( x) 在 [ a , + ∞ ) 上当 x → + ∞ 时单调趋于 0 , 则
f ( x ) g( x ) d x 收敛 .
a
u
证 由 条 件 设
a
x → + ∞
f ( x) d x ≤ M , u ∈ [ a , + ∞ ) . 任 给 ε > 0 , 由 于
x > G 时 , 有 lim g ( x ) = 0 , 因此存在 G ≥ a , 当
ε
g( x ) < . 4 M
又因 g 为单调函数 , 利用积分第二中值 定理 ( 定理 9 .10 的推论 ) , 对 于任 何 u2 > u1 > G , 存在 ξ∈ [ u1 , u2 ] , 使得
) ∫ f ( x) g( x) d x = g ( u∫
1
u
1
ξ u
f ( x ) d x + g( u2)
∫f ( x) d x .
2
u
1
ξ
于是有
u u
1
ξ
f ( x ) g( x ) d x ≤ g( u1 ) ·
=
g( u1 ) ·
u
1
f ( x ) d x + g( u2 ) ·
u
∫ f ( x ) d x
ξ
u
- ∫f ( x) d x ∫
a
ξ
f ( x ) d x
a
274
第十一章 反 常 积 分
+ g( u2 ) ·
2
f ( x ) d x -
a
∫f ( x ) d x
a
ξ
ε ε
·2 M + ·2 M = ε . 4 M 4 M + ∞
根据柯西准则 , 证得
a
f ( x ) g( x ) d x 收敛 .
+ ∞
定理 11 .4 ( 阿贝尔 ( Abel) 判别法 ) 若
a
f ( x) d x 收敛 , g( x ) 在 [ a , + ∞ )
+ ∞
上单调有界 , 则
a
f ( x ) g ( x ) d x 收敛 .
这定理同样可用积分第二中值定理 来证 明 , 但又 可利用 狄利 克雷判 别法 更 方便地获得证明 ( 留作习题 ) .
+ ∞
cos x 例 3 讨论+ ∞ sin x
d x 与p
1 . xp d x ( p > 0 ) 的收敛性 1 x
解 这里只讨论前一个无穷积分 , 后者有 完全 相同的 结论 .下面分 两种 情 形
∫
来讨论 :
+ ∞
( i) 当 p > 1 时
1
而
1
+ ∞
d x
p
sin x d x 绝对收敛 .这是因为 p xsin x 1 ≤ p , x ∈ [1 , + ∞ ) , p
xx+ ∞
sin x
∫
1
d x 收敛 . p 当 p > 1 时收敛 , 故由比较法则推知
1xx+ ∞
sin x d x 条 件 收 敛 .这 是 因为 对 任 意 u ≥ 1 , 有 ( ii) 当 0 < p ≤ 1 时
1 p
xu
1 sin x d x = cos 1 - cos u ≤ 2 , 而 当 p > 0 时单调趋于 0 ( x → + ∞ ) , 故
+ ∞
∫
x
p
sin x d x 当 p > 0 时总是收敛的 . p
1 x
另一方面 , 由于
2
sin x sinx 1 cos 2 x -≥ , x ∈ [ 1 , + ∞ ) , = 2 x p
2 x x x+ ∞ + ∞
cos 2 x 1 cos t 其中 d x = d t 满 足 狄 利 克 雷 判 别 条 件 , 是 收 敛 的 , 而
1 2 x 2 2t + ∞
d x
是发散的 , 因此当 0 < p ≤ 1 时该无穷积分不是绝对收敛的 .所以它是条
1 2 x 件收敛的 .
由狄利克雷判别法推知
例 4 证明下列无穷积分都是条件收敛的 :
§2 无穷积分的性质与收敛判别
275
4
+ ∞ 1
sin xd x ,
2
+ ∞ 1
cos xd x ,
2
2
+ ∞ 1
xsin xd x .
证 前两个无穷积分经换元 t = x得到
+ ∞ 1
sin xd x =
1
+ ∞ 1
2
+ ∞
sin t
d t ,2 t cos t
d t .2 t
cos xd x =
2
+ ∞ 1
由例 3 已知它们是条件收敛的 .
对于第三个无穷积分 , 经换元4 t = x而得1
2 xsin xd x = + ∞
sin td t , 21 1
2
∫
∫
它也是条件收敛的 .
从例 4 中三个无穷积分的收敛性可 以看到 , 当 x → + ∞ 时被 积函数 即使 不 趋于零 , 甚至是无界的 , 无穷积分仍有可能收敛 .
习 题
1 . 证明定理 11 .2 及其推论 1 .
2 . 设 f 与 g 是定义在 [ a , + ∞ )上的函数 , 对任何 u > a , 它 们在 [ a , u] 上 都可积 .证明 :
+ ∞
+ ∞
+ ∞
2
+ ∞
若
a
f( x) d x 与
a
2
g( x) d x 收 敛 , 则
a
f ( x) g( x) d x 与
a
[ f ( x) + g( x ) ]2 d x 也 都
收敛 .
3 . 设 f 、g、h 是定义 在 [ a , + ∞ ) 上 的 三 个 连 续 函数 , 且 成 立 不等 式 h ( x ) ≤ f ( x ) ≤ g( x) .证明 :
+ ∞
+ ∞ a
+ ∞
(1) 若
a
h( x )d x 与
g( x) d x 都收敛 , 则
f ( x) d x 也收敛 ;
a + ∞
+ ∞ + ∞ a
(2) 又若
a
h( x )d x = g( x) d x = A , 则
a
f ( x) d x = A .
4 . 讨论下列无穷积分的收敛性 :
+ ∞
d x ( 1) ; (2)
∫0 0
+ ∞ 1 + ∞
x 1 - e
x
d x ;
x+ 1 d x 1 +
n
4
+ ∞
∫( 5∫)
( 3)
1
; x
d x ;
ln( 1 + x) x
5 . 讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛 :
( 1)
x arctan x d x;
1 1 + x3
+ ∞ xm d x( n、m ≥ 0 ) . (6)n
0 1 + x (4)
+ ∞ 0
∫
1
sin x
x d x ; (2 )
sgn( sin x) 1 + x
2
d x ;
