268
第十一章 反 常 积 分
上可积 .
若 f 的瑕点 c∈ ( a , b) , 则定义瑕积分
f ( x )d x ∫f ( x) d x =∫f ( x) d x +∫
a
a
c
b c b
= lim
-
u → c
f ( x) d x + lim∫ ∫f ( x) d x .
a
v → c
+
u b
( 6)
v
其中 f 在 [ a , c) ∪ ( c, b] 上有定义 , 在点 c 的 任一领 域内 无界 , 但 在任何 [ a , u]
ì [ a , c) 和 [ v , b] ì ( c, b] 上都可积 .当且仅当 ( 6 ) 式右 边两个 瑕积分都 收敛时 , 左边的瑕积分才是收敛的 .
又若 a、b 两点都是 f 的瑕点 , 而 f 在任何 [ u , v ] ì ( a, b) 上可积 , 这时定义 瑕积分
∫f ( x ) d x =∫f ( x ) d x +∫f ( x) d x
a
a
c
b c b
= lim
u → a
+
f ( x) d x , ∫f ( x) d x + lim∫
u
v → b
-
c v
c
( 7)
其中 c 为 ( a , b) 内任一实数 .同样地 , 当且仅当 ( 7) 式右边两个 瑕积分都 收敛时 ,
左边的瑕积分才是收敛的 .
d x
例 5 计算瑕积分的值 .
20
1 - x 1 解 被积函数 f ( x) =在 [ 0 , 1 ) 上 连续 , 从 而在 任何 [ 0 , u] ì [ 0 , 1)
2
1 - x
上可积 , x = 1 为其瑕点 .依定义 2 求得
1 u d x d x = lim
- 220 u → 1 1 - x 1 - x
π
arcsin u = . = lim -2 u → 1
例 6 讨论瑕积分 1
d x ( 8) q ( q > 0 ) 0 x的收敛性 .
∫ ∫
∫ ∫
解 被积函数在 (0 , 1 ] 上连续 , x = 0 为其瑕点 .由于
1 1 - q 1
) , q ≠ 1 , d x ( 1 - u ( 0 < u < 1) , 1 - qq = u x
- ln u , q = 1 故当 0 < q < 1 时 , 瑕积分 (8 ) 收敛 , 且 d x q = lim
∫ 0
+u → 0
∫ x
u
d x q
= ;1 - q
1 §1 反常积分概念
269
而当 q≥1 时 , 瑕积分 ( 8) 发散于 + ∞ .
上述结论在图 11 - 4 中同样能获得直观的反映 .
如果把例 3 与例 6 联系起来 , 考察反常积分
+ ∞
d x
( 9) p ( p > 0 ) . 0 x
我们定义
1
+ ∞ + ∞ d x d xd x
p =p , 0 0 + xp x1x
它当且仅当右边的瑕积分和无穷积分 都收 敛时 才收敛 .但 由例 3 与 例 6 的结 果
∫
∫
∫
可知 , 这 两 个 反 常 积 分 不 能 同 时 收 敛 , 故 反 常 积 分 ( 9 ) 对 任 何 实 数 p 都 是 发散的 .
习 题
1 . 讨论下列无穷积分是否收敛 ? 若收敛 , 则求其值 :
( 1) ( 3) ( 5)
∫0
+ ∞
xe- x d x ; (2)
(4) ;
(6)
2
+ ∞ - ∞ + ∞ 1 + ∞
2
xe- x
d x ;
∫∫∫∫b2 0 1 0 1
1 d x ;
0
ex
+ ∞
d x - ∞ + ∞
2
+ ∞
2 d x x ( 1 + x)
- x
4 x+ 4 x + 5
x
∫ e
0 + ∞ 0
sin xd x; d x
.1 + x2
( 7)
esin xd x ; (8) - ∞
2 . 讨论下列瑕积分是否收敛 ?若收敛 , 则求其值 :
( 1) ( 3) d x p
;
a
∫
( x - a)
d x ;
| x - 1 |
d x ;
2
0 1 - x 1 x (4)d x;
0
1 - x2 (2)
1
∫ 1
( 5)
∫ln x d x ; ∫0
( 7)
d x x - x2
;
d x;
0 1 - x 1
d x (8) p .
0 x( ln x) (6)
b
b
x
3 . 举例说明 : 瑕积分4 . 举例说明: 5 . 证明: 若
, ∫f ( x) d x 收敛时∫
a
f2 ( x) d x 不一定收敛 .
∫
+ ∞
a
+ ∞ a
f ( x) d x 收敛且 f 在 [ a , + ∞ ) 上连续时 , 不一定有 lim f ( x) = 0 .
x→ +∞
f ( x )d x 收敛 , 且存在极限 lim f ( x) = A , 则 A = 0 .
x→ +∞
270
第十一章 反 常 积 分
+ ∞
+ ∞
6 . 证明: 若 f 在[ a, + ∞) 上可导 , 且
a
f ( x)d x 与
a
f ′( x)d x 都收敛 , 则 lim f ( x) = 0 .
x→ +∞
§2 无穷积分的性质与收敛判别
一 无穷积分的性质
+ ∞
由定 义 知 道 , 无 穷 积 分
a
u
f ( x) d x 收 敛 与 否 , 取 决 于 函 数 F( u ) =
f ( x ) d x 在 u → + ∞ 时是否存在极限 .因此可由函数极限的柯西准则导出无穷
a
积分收敛的柯西准则 .
+ ∞
定理 11 .1 无穷积分
a
f ( x ) d x 收敛 的充要条件是 : 任给 ε > 0 , 存在 G
u
u u
≥ a, 只要 u1 、u2 > G , 便有
∫
u
2
f ( x ) d x -
a
∫f ( x )d x = ∫ f ( x )d x
1
a
< ε .
此外 , 还可根据函数极限的性质与定积分的性质 , 导出无穷积分的一些相应
性质 .
+ ∞
+ ∞
性质 1 若
a
+ ∞ a
f1 ( x) d x 与 f2 ( x) d x 都 收 敛 , k1 、k2 为 任 意 常 数 , 则
a
[ k1 f1 ( x) + k2 f2 ( x) ] d x 也收敛 , 且
+ ∞ a
+ ∞
+ ∞
[ k1 f1 ( x ) + k2 f2 ( x ) ] d x = k1
a
f1 ( x ) d x + k2
a
f2 ( x) d x . ( 1)
+ ∞
性 质 2 若 f 在 任 何 有 限 区 间 [ a , u] 上 可 积 , a < b, 则
a
+ ∞
f ( x ) d x 与
f ( x) d x 同敛态 ( 即同时收敛或同时发散 ) , 且有
b
f ( x )d x +∫ f ( x) d x =∫ ∫ f ( x )d x ,
a
a
b
+ ∞ b + ∞
( 2)
+ ∞
其中右边第一项是定积分 .
性质 2 相当于定积分的积分区间可加性 , 由它又可导出
a
f ( x ) d x 收敛的
另一充要条件 : 任给 ε > 0 , 存在 G ≥ a , 当 u > G 时 , 总有
+ ∞ u
f ( x ) d x < ε .
§2 无穷积分的性质与收敛判别
271
事实上 , 这可由
+ ∞ a
f ( x ) d x +∫ f ( x ) d x =∫ ∫ f ( x ) d x
a
u
u + ∞
结合无穷积分的收敛定义而得 .
+ ∞
性质 3 若 f 在任何有限区间 [ a , u] 上可积 , 且有
a
+ ∞ a
| f ( x ) | d x 收敛 , 则
f ( x) d x 亦必收敛 , 并有
+ ∞
+ ∞
f ( x) d x ≤
a
+ ∞
a
f ( x ) d x . ( 3)
证 由
a
f ( x) d x 收敛 , 根据柯西准则 ( 必要性 ) , 任给 ε > 0 , 存在 G ≥
a , 当 u2 > u1 > G 时 , 总有
u u
1
f ( x ) d x
u
2
f ( x ) d x < ε .
u
1
利用定积分的绝对值不等式 , 又有
u u
2
u u
f ( x ) d x ≤
+ ∞
2 1
f ( x ) d x < ε .
1
再由柯西准则 ( 充分性 ) , 证得
a
u
u
f ( x ) d x 收敛 .
d x ( u > a) , 令 u → + ∞ 取极限 , 立刻得到不
又因
f ( x) d x ≤∫ ∫ f ( x )
a
a
等式 (3 ) .
+ ∞
+ ∞
当
a
f ( x ) d x 收敛时 , 称
a
f ( x )d x 为绝对收敛 .性质 3 指出 : 绝对收敛
的无穷积分 , 它自身也一定收敛 .但是它 的逆命 题一 般不成 立 , 今 后将举 例说 明 收敛的无穷积分不一定绝对收敛 .
我们称收敛而不绝对收敛者为条件收敛 .
二 比较判别法
首先给出无穷积分的绝对收敛判别法 .
u
+ ∞
由于 | f ( x ) | d x 关于上限 u 是单调递增的 , 因此
a
| f ( x ) | d x 收敛的
a
u
充要条件是
a
| f ( x) | d x 存在上界 .根据这一分析 , 便立 即导出下 述比较判 别
法 ( 请读者自己写出证明 ) :
定理 11 .2 ( 比较法则 ) 设定义在 [ a , + ∞ ) 上的 两个 函数 f 和 g 都 在任 何
