9．如图所示，已知D是以点A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．
(1)写出表示区域D的不等式组；
(2)设点B(－1，－6)，C(－3,2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围．
[解] (1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0.原点7x－5y－23≤0，??
(0,0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为?x＋7y－11≤0，
??4x＋y＋10≥0.
(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a]·[4×(－3)－3×2－a]＜0，即(14－a)(－18－a)＜0，
解得－18＜a＜14.故a的取值范围是(－18,14)．
x＋y≥1，??
10．若x，y满足约束条件?x－y≥－1，
??2x－y≤2.
11
(1)求目标函数z＝x－y＋的最值；
22
(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围． [解] (1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．
11
平移初始直线x－y＋＝0，过A(3,4)时z取最小值－2，过C(1,0)时z取最大值1.
22所以z的最大值为1，最小值为－2.
(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图像可知－1＜－＜2，解得－4＜a＜2.
2故a的取值范围是(－4,2)．
B组 能力提升
a
x＋y－3≥0，??
1．若平面区域?2x－y－3≤0，
??x－2y＋3≥0
间的距离的最小值是( )
夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线
3532
A． B.2 C． D.5
52
B [根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A点和B点时满足条
??x＋y－3＝0，
件，联立方程组?
??x－2y＋3＝0
??2x－y－3＝0，
求得A(1,2)，联立方程组?
??x＋y－3＝0
求得B(2,1)，可求
得分别过A，B点且斜率为1的两条直线方程为x－y＋1＝0和x－y－1＝0，由两平行线间的距离|1＋1|
公式得距离为＝2，故选B.]
2
x＋y－2≤0，??
2．若不等式组?x＋2y－2≥0，
??x－y＋2m≥0
( )
A．－3 4
C． 3
4
表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为
3
B．1 D．3
B [作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A，B，C，D的坐标分别为A(2,0)，B(1－m,12－4m2＋2m＋m)，C，，D(－2m,0)．
33
S△ABC＝S△ADB－S△ADC＝|AD|·|yB－yC|＝(2＋2m)·?1＋m－m＝1或m＝－3(舍去)．]
1
212
??
2＋2m??m－2?＝4，
＝(1＋m)?1＋解得?3?3???3
2x＋y≥0，??
3．已知实数x，y满足?x－y≥0，
??0≤x≤a，__________．
设b＝x－2y，若b的最小值为－2，则b的最大值为
1b10 [画出可行域，如图阴影部分所示．由b＝x－2y，得y＝x－.易知在点(a，a)处b取最
22小值，故a－2a＝－2，可得a＝2.在点(2，－4)处b取最大值，于是b的最大值为2＋8＝10.]
4．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
原料 肥料 甲 乙 A 4 5 B 8 5 C 3 10 现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨．在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．
??8x＋5y≤360，[解] (1)由已知，x，y满足的数学关系式为?3x＋10y≤300，
x≥0，??y≥0.
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分．
4x＋5y≤200，
(2)设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.
2z2
考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－x＋，它的图像是斜率为－，随z变化的一组平行直线，
333
z为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大．根据x，y满足的约束条件，由图②可知，
33当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．
3
zz
?4x＋5y＝200，?
解方程组?
??3x＋10y＝300，
得点M的坐标为(20,24)，
所以zmax＝2×20＋3×24＝112.
即生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．
