2018版数学北师大版选修2-2学案：第四章 定积分 3-1~3-2 含答案 精品

???x＝1，?x＝－2，?得或?(舍)． ?y＝2???y＝5

且x＋y＝3与x轴交于点(3,0)，

2

?x＋1?0≤x≤1?，?3

?∴S＝?0f(x)dx，其中f(x)＝ ?3－x?1

∴S＝?10(x＋1)dx＋?1(3－x)dx

x?3x－x??3

＋x??1＝?＋02??1 ?3???19110＝＋1＋(9－)－(3－)＝. 3223三、解答题

12．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图像如图所示，它与直线y＝0在原点处相切，27

此切线与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为，求a的值．

4

3

2

解 由图知方程f(x)＝0有三个实根，其中有两个相等的实根x1＝x2＝0，于是b＝0， 所以f(x)＝x2(x＋a)．

x4ax3??－aa427－a32?则＝?0[0－(x＋ax)]dx＝－?4＋3??0＝，

412

所以a＝±3.

又－a>0?a<0，所以a＝－3.

13．过点P(1,0)作抛物线y＝x－2的切线，求该切线与抛物线y＝x－2及x轴所围平面图形绕x轴旋转而成的旋转体体积． 解 如图，设切点为A(x0，x0－2)，

x－1则切线方程为y＝，

2x0－2∵切点在切线上，

x0－1

∴x0－2＝，∴x0＝3，

2x0－21

∴切线方程为y＝(x－1)．

2

1π23

V＝π?31(x－1)dx－π?2(x－2)dx＝. 46四、探究与拓展

14．已知S1为直线x＝0，y＝4－t2及y＝4－x2所围成图形的面积，S2为直线x＝2，y＝4－t2及y＝4－x2所围成图形的面积(t为常数)．

(1)若t＝2，求S2；

(2)若t∈(0,2)，求S1＋S2的最小值． 解 (1)当t＝2时，S2＝13

x－2x?＝??3?22?22[2－(4－x2)]dx

4

＝(2－1)． 3

12t2x－x3??t0＝t3. (2)当t∈(0，2)时，S1＝?t0[(4－x2)－(4－t2)]dx＝?3??3?823222?1x3－t2x??2

S2＝?2＝－2t＋t. t[(4－t)－(4－x)]dx＝t

?3??3348

所以S＝S1＋S2＝t3－2t2＋.S′＝4t2－4t＝4t(t－1)，

33令S′＝0，得t＝0(舍去)或t＝1，

当00，S单调递增，所以当t＝1时，Smin＝2.

15．设两抛物线y＝－x2＋2x，y＝x2所围成的图形为M，求：(1)图形M的面积； (2)将M绕x轴旋转一周所得旋转体的体积． 解 如图，M为图中阴影部分．

(1)图形M的面积为

232??112212?－?1[(－x＋2x)－x]dx＝?(－2x＋2x)dx＝00

?3x＋x??0＝3.

2222132

(2)M绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为π?10[(－x＋2x)－(x)]dx＝π?0(－4x＋4x)dx

4π

－x4＋x3??1＝π?＝03??3. ?

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