函数项级数一致收敛性的判别法
摘 要 函数项级数是数学分析中的重点和难点,因此讨论和分析它的性质和判别方法显得尤为重要,本文给出了函数项级数的定义以及函数项级数一致收敛性的判别定理，并用之来解决函数项级数一致收敛性的一些问题比较容易.
关键词 函数项级数；一致收敛性；判别法. 中图分类号 O173.1
Function Seies Convergence Criterion
Abstract：Function is a mathematical analysis of series of focus and difficult, so the discussion and analysis of its nature and it is particularly important to identify methods.In this paper, the definition of Function series and uniform convergence of Function series of discriminant theorem,and used to solve the series of uniform convergence of Function of some of the problems is easier. Key words：Function series; Uniform convergence of; Discriminance
1 引言及预备知识
如果函数项级数具有一致收敛性,函数项级数的和函数或余和易于求得,判别它的一致收敛性可应用一致收敛定义,如果很难求得它的和函数或余和，就根据函数自身的结构,找到判别一致收敛性的判别法.
定义1.1[1] 设u1(x),u2?x?,…un?x?,…是一列定义在D上的函数,把这些函数的各项用加号连接起来的表达式
u1?x??u2?x??…+un?x?+…或?un?x?, (1)
n?1?称为函数项级数.?a?D 函数级数在a对应一个数值级数
?n?1?U(a)=u1(a)?u2(a)?…+un(a)+…. (2)
它的敛散性可用数值级数敛散性的判别法判别,若级数(2)收敛,则称a是函数级数(1)的收敛点;若级数(2)发散,则称a是函数级数(1)的发散点.
定义1.2[1] 函数项级数(1)的收敛点的集合,称为函数项级数(1)的收敛域,若收敛域是一个区间,则称此区间是函数项级数的收敛区间.
定义1.3 设数集E为函数项级数?un?x?的收敛域,则对每个x?E记S(x)=
[1]
?n?1?u?x?称S(x)为函数项级数?u?x?的和函数.
nnn?1n?1??定义1.4 设un?x?,(n=1,2…)都是在数集D上有定义的函数,若存在一个在D上有
[1]
定义的函数S(x),对任意的?>0,存在自然数集N,使得当n?N时.对一切的 x?D 均有|?uk(x)?s(x)?|
k?1n?1n?引理1.1 函数项级数一致收敛的柯西准则:函数项级数?un(x)在数集D上一致收敛
[3]
?n?1的充要条件是:对任意的?>0,存在自然数集N,使n?N时,对任意的自然数p及一切x?D均有
k?n?1?u(x)??.
nn?p引理1.2[1]阿贝尔引理 若i) ?1?2??n是单调,ii)对任意正整数k(1?k?n)有|?k|?A(这里?k=v1+v2+?vk),则记??max{?k}有
k|??kvk|?3?A.
k?1n
2 主要结论及初步应用 2.1 地尼判别法
定理1 设un(x)?0在[a,b]上连续, n?1,2?有?un?x?在[a,b]收敛于连续函数f(x),
n?1?则?un?x?在[a,b]上一致收敛于f(x).
n?1?证 用反证法 若?un?x?在[a,b]不一致收敛于连续函数f(x),Sn(x)为级数的部分和,
n?1?则???0,n1?n2?n3???nk??和xnk?[a,b]使得
f(xnk)?Snk(xnk)??0.
对{xnk}?[a,b]应用聚点定理, ?{xnk}的子列收敛于x0?[a,b],不妨设此子列即为{xnk}固定
m,当nk?m时
f(xnk)?Sm(xnk)?f(xnk)?Snk(xnk)??0.
令k??，由于f(x)?Sm(x)的连续性,因此f(x0)?S??0这与?un(x0)收敛于m(x0)n?1??u(x)矛盾.
n0n?1??x? 例1 证明在区间[0,1]上函数序列?1??,(n?1,2,?)一致收敛于ex.
?n??x? 证 ?1??在区间[0,1]上递增趋于ex,ex在[0,1]上连续,应用地尼定理 所以
?n??x?x?1??是一致收敛于e. ?n?例2 函数序列fn(x)?nnn1?x?e??1???n?xnn(n?1,2,?)是一致收敛.
证 由于 limfn(x)?n??1,x?[0,1]， 又因 x1?exxnx1?e?e?(1?)nnfn(x)?f(x)?, nx?x???en??1???1?ex???n???????x? ?ex??1???en?1,
?n??1? ?e??1???en?1?0.
?n?n1nx故fn(x)一致收敛于f(x).
这类例题它在区间上是连续的,并且它收敛于一个连续用地尼判别法显得比较有效.
2..2 狄利克雷判别法
定理2 设1) ?un(x)的部分和函数列un(x)??un(x),(n?1,2,?)在D上一致有
n?1?界,2)对于每一个x?D?un(x)?是单调的,3)在D上vn(x)一致收敛于0(n??)则级数
?u(x)vnn(x)在D上一致收敛.
证明 1)存在正整数M,对一切的x?D,有un(x)?M因此当n,p为任何正整数时
un?1(x)?un?2(x)??un?p(x)?un?p(x)?un(x)?2M.
对于每一个x?D,再由2)及阿贝尔引理得到
un?1(x)?un?2(x)???un?p(x)?un?p(x)?2vn?p(x),
?2Mvn?p(x)?vn(x).
????再由3)对任给的?>0,存在正整数N,当n?N时, 对一切的x?D有
vn(x)??.
所以
un?1(x)vn?1(x)???un?p(x)vn?p(x)?2M(??2?)?6M?,
于是由一致收敛性的柯西准则级数?un(x)vn(x)在D上一致收敛.
例3 ?n?1?sinxsinnxn?1,(0?x???).
1 n?x解 设un(x)?sinxsinnx,vn(x)?由于
?u(x)?nk?1ncosx12(1?cosn?)2x1n?2.
于是?un(x)的部分和一致有界,而v(x)?级数一致收敛
故vn(x)一致收敛于0,由狄利克雷判别法,原
例4 若数列?an?单调且收敛于零,则级数?ancosnx在[?,2???](0????)上一致收敛.
证 在??,2????上有
1sin(n?)x2?1?1?1?1?1. coskx??x?2x22k?12sin2sin2sin222n所以级数?cosnx的部分和函数列在[?,2???]上一致有界于是令
un(x)?cosnx,vn(x)?cosnx.
