=?baxQk?1(x)Qk(x)dx??kdk?1
=?bxQbak?1(x)Qk(x)dx??aQk(x)Qk(x)dx
=?baQk(x)[xQk?1(x)?Qk(x)]dx
=?bQk(x)[xQk?1(x)?(x??k?1)Qk?1(x)??k?1Qk?2(x)]dx
a
=?bQk(x)[?k?1Qk?1(x)??k?1Qk?2(x)]dx
a
=?bbk?1?aQk(x)Qk?1(x)??k?1?aQk(x)Qk?2(x)]dx
=0（根据归纳假设）
当j?k?1时，根据归纳假设，式（1.6）中的第二、三项均为零，即有
?baQk?1(x)Qj(x)dx??baxQj(x)Qk(x)dx
=?baQk(x)[(x??j)Qj(x)??jQj(x)]dx
=?baQk(x)[Qj?1(x)??jQj?1(x)??jQj(x)]dx
=?bQk(x)Qj?1(x)dx??bbaj?aQk()xQj?1(x)dx??j?aQk(x)Qj(x)dx
=0（根据归纳假设）
综上所述，Qk?1(x)与Qj(x)(j?0,1,?,k)均互相正交，即
?baQk?1(x)Qj(x)dx?0,j?0,1,?,k
因此，由递推关系式（1.1）所构造的?Qj(x)(j?0,1,?)?为正交多项式系。
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下面我们来看一个具体的例子 1例：在区间[,1]上构造正交多项式。
4解：由递推关系式（1.1）有
Q0(x)?1
根据式（1.4）与式（1.2）有
d0??11dx?41234,?0??114xdx?58d0
因此，由递推关系式（1.1）有 Q1(x)?x?58
再根据式（1.4）与式（1.2）有
d1??1(x?4158)dx?29256,?1??114x(x?d158)dx?58,?1?d1d0?364
因此，由递推关系式（1.1）有
Q2(x)?(x?58)(x?58)?364?x?254x?1132
以此类推。
2.3 最佳一致逼近多项式
2.3.1 一致逼近的基本概念
一致逼近的定义如下。
定义1-1 定义在区间?a,b?上的一个函数f(x)，若对于一个近似函数y(x)及??0，
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有 ?(f,y)?maxa?x?bf(x)?y(x)?? （1.7）
则称在区间?a,b?上用y(x)近似代替f(x)时，其误差按一致意义小于?。
由定义1-1可以看出，如果?(f,y)满足式（1.7），那么，用y(x)近似代替f(x)时，对于区间?a,b?上的任何一点x，其误差E(x)?f(x)?y(x)必定小于?。
在工程应用中，用一个多项式函数按按一致意义近似代替（或逼近）一个给定函数f(x)，对于函数f(x)的计算显然是有实际意义的。那么，对于定义在区间?a,b?上的函数f(x)，
是否存在多项式按一致意义逼近它呢？下面的维尔拉斯（Weierstrass）定理回答这个问题。
定理1-1设函数在区间?a,b?上连续，若给定一个??0，则存在多项式P(x)使 ?? f(x)?P(x)在区间?a,b?上一致成立。
定理1-1说明了按一致意义逼近函数f(x)的多项式P(x)是存在的。下面举个例子说明这个问题。
例： 设函数
?, f(x)?arctaxnx??? 1,1现在要用一个多项式P(x)近似代替它，使 ?(f,P)?maxa?x?bf(x?)y(x?) 0070.0解：在高等数学中已经知道，为了解决这个问题可以使用泰勒展开式。首先将函数arctanx在x?0点展开成泰勒级数
arctanx?x?13x?315x???5(?1)n
?2n?1xn2???1??n?0(?1)n
2n?1x2n?1
然后用这个级数的前n项之和作为近似函数。由于这个级数是交错级数，为了确定n，只需
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求解下列不等式： 即
得到
n?712 取
n?713 最后得到
713(?1)n2n?1x2n?1?0.0007
12n?1?0.000 7 arctanx??2n?1xn?0(?1)n2n?1 （1,7）
但在实际应用时，用多项式近似代替f(x)，不仅希望其计算结果能满足精度要求，还希望多项式的次数越低越好，以便减少计算工作量。在式（1.7）中，要用714项的多项式来近似代替函数arctanx，其计算工作量太大；并且由于项数太多，误差积累很严重，将导致实际上没有满足精度要求。能否用别的多项式来逼近函数arctanx，使既能满足精度要求，又能减小计算工作量呢？回答是肯定的。实际上，如果用多项式
35 P5(x)?0.995354x?0.288679x?0.079931x （1,8）
来近似代替arctanx，在区间??1,1?上也能满足精度要求，其误差满足 ?P arctaxn5x(?)0.00x?0,?7??
1,1从理论上讲，定义在区间?a,b?上的函数f(x)，不仅存在一致逼近多项式。而且，在n次数不超过的多项式中，存在按一致意义上误差最小的一个多项式，这个多项式成n为次最佳一致逼近多项式。
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