多项式逼近有泰勒多项式笔记，牛顿逼近，拉格朗日逼近，切比雪夫逼近多项式等。
1.4 MATLAB
MATLAB是一种常用的数学软件，它在数学类科技应用软件中的数值计算方面首屈一指。MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形
式十分相似，故用MATLAB来解算问题要比用C，FORTRAN等语言完成相同的事情简捷得多，并且MATLAB也吸收了像Maple等软件的优点，使MATLAB成为一个强大的数学软件。在新的版本中也加入了对C，FORTRAN，C++，JAVA的支持。可以直接调用,用户也可以将自己编写的实用程序导入到MATLAB函数库中方便自己以后调用，此外许多的MATLAB爱好者都编写了一些经典的程序，用户可以直接进行下载就可以用。 MATLAB的的特点也比较多，例如：
1) 高效的数值计算及符号计算功能，能使用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来； 2) 具有完备的图形处理功能,实现计算结果和编程的可视化;
3) 友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言，使学者易于学习和掌握； 4) 功能丰富的应用工具箱(如信号处理工具箱、通信工具箱等) ,为用户提供了大量方便实用的处理工具。
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第二章 正交多项式
2.1 正交多项式
大家知道，函数系1,sinx,cosx,cos2x,sin2x,?,cosnx,sinnx,?中任何两个不同函数的乘积在区间????,??(或[0,2?])上的积分都等于零，而它们之中每一个函数自
乘的积分不等于零，即
?
??-?0,m?n?cosmxconsxd?x??,m?n?0
?2?,m?n?0?
??cosmx??sinxd?x 0
?0,m?n ?sin mxsinxd?x????,m?n?0??
我们称这个函数系中任何两个函数在区间???,??上是正交的，这个函数构成一个正交函数系。如果这个函数系中的每一个函数分别乘以一个适当的常数，即
12?,1coxs,12sxin1,1cxos2,1x?sin2,nx,1cosnx?,
sin,?????则这个函数仍保持正交的性质，而且还是规范的（标准化的），即每一个函数自乘之后在区间???,??上的积分为1。
一般来说，对于定义在区间?a,b?上的一个函数系??(xj)(j?0,1,?)?，如果其中任何两个函数在区间?a,b?上的积分为零，而且它们之中每个函数自乘的积分不为零，即
ba
??(x)?m(x)?n(x)dx???0,m?n
?0,m?n则称函数系??(xj)(j?0,1,?)?为在区间?a,b?上关于权函数?(x)(?(x)?0)的正交函数系。特别当
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?
ba?(x)?m(x)?n(x)dx?1时称之为规范正交系函数。当??(xj)(j?0,1,?)?中的每一个
函数均为多项式时，称之为正交多项式系，简称正交多项式。
2.2 正交多项式的构造
本小节讨论在区间?a,b?上关于权函数?(x)?1的正交多项式系
?Qj(x)(j?0,1,?)?。而对于一般关于权函数?(x)的正交多项式系构造方法是类似的。
为了构造在给定区间?a,b?上关于权函数?(x)?1的正交多项式系
?Qj(x)(j?0,1,?)?，可以采用如下递推方法：
Q0(x)?1
Q1(x)?(x??0)Qj?1(x)?(x??j)Qj??jQj?1(x),j?1,2,? （1,1）
其中
?j??baxQj(x)dxdj2,j?0,1? （1,2）
?j?而
dj?djdj?1,j?1,2?, （1,3）
?baQj(x)dx,j?2 （1,4） 0,?1,显然，由上述递推构造的Qj(x)(j?0,1,?)为j次多项式。下面用数学归纳法来证明
?Qj(x)(j?0,1,?)?在区间?a,b?上的正交性。
首先考虑Q0(x)与Q1(x)的正交性。
?baQ0(x)Q(x)d?x?1ba(??x0)?d?xba?x?dx?(0 b ) a（1,5）
根据式（1.4）有
6
d0?
根据式（1.2）有
?baQ0(x)dx?2?ba1dx?b?a
?0??baxQ0(x)dxd02??baxdxb?a
带入（1.5）后得到
baba
?Q0(x)Q1(x)dx???xdx?baxdx(b?a)?b?a?baxdx??baxdx?0
即Q0(x)与Q1(x)在区间?a,b?上正交。
然后，假设Q0(x),Q1(x),?,Qk(x)已经相互正交。
最后需要证明Qk?1(x)与Qj(x)(j?0,1,?,k)互相正交。由递推公式（1.1）可得 Qk?1(x)(x??k)Qk(x)??kQk?1(x) 当j?0,1,?,k时，有
?babQk?1(x)Qj(x)dx??baQj(x)Qk?1(x)dx
=?Qj(x)[(x??k)Qk(x)??kQk?1(x)]dx
a =?xQj(x)Qk(x)dx??k?Qj(x)Qk(x)dx??k?Qj(x)Qk?1(x)dx （1,6）
aaabbb下面来分三种情况来讨论：
当j=k时，根据归纳假设，式（1.6）中的第三项为0，即有
?baQk?1(x)Qj(x)d?x?baxkQ()xkQ(??)x?kbakQ()xQ( )xdxk =?kdk??kdk?0
当j=k-1时，根据归纳假设，式（1.6）中的第三项为0，即有
?
baQk?1(x)Qj(x)dx??baxQk?1(x)Qk(x)??k?Qk?1(x)Qk?1(x)dx
ab
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